Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53760 / 21006
↖ ↑ ↗
← N 54.117383°
E115.312500°		 ← 358.04 m → N 54.117383°
E115.317993°		 →
↑
357.99 m
↓
↑
357.99 m
↓
N 54.114163°
E115.312500°		 ← 358.06 m →
128 177 m²		 N 54.114163°
E115.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820320129394531 y=0.320533752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820320129394531 × 216)
    floor (0.820320129394531 × 65536)
    floor (53760.5)     		tx = 53760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320533752441406 × 216)
    floor (0.320533752441406 × 65536)
    floor (21006.5)     		ty = 21006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53760 / 21006 ti = "16/53760/21006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53760/21006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53760 ÷ 216
    53760 ÷ 65536     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21006 ÷ 216
    21006 ÷ 65536     		y = 0.320526123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320526123046875 × 2 - 1) × π
    0.35894775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1276676266622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1276676266622))-π/2
    2×atan(3.08844468703046)-π/2
    2×1.25766141978929-π/2
    2.51532283957858-1.57079632675     		φ = 0.94452651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94452651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.117383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53760 KachelY 21006 2.01258279 0.94452651 115.312500 54.117383
    Oben rechts KachelX + 1 53761 KachelY 21006 2.01267867 0.94452651 115.317993 54.117383
    Unten links KachelX 53760 KachelY + 1 21007 2.01258279 0.94447032 115.312500 54.114163
    Unten rechts KachelX + 1 53761 KachelY + 1 21007 2.01267867 0.94447032 115.317993 54.114163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94452651-0.94447032) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dl = 357.986490000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94452651-0.94447032) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dr = 357.986490000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01267867) × cos(0.94452651) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.586126575537404 × 6371000     		do = 358.03628613412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01267867) × cos(0.94447032) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.586172100845766 × 6371000     		du = 358.064095336111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94452651)-sin(0.94447032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586126575537404-0.586172100845766)×R²
    abs(2.01267867-2.01258279)×4.55253083622154e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.55253083622154e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.55253083622154e-05×40589641000000     		ar = 128177.131058939m²