Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53758 / 21274
↖ ↑ ↗
← N 53.245495°
E115.301514°		 ← 365.49 m → N 53.245495°
E115.307007°		 →
↑
365.50 m
↓
↑
365.50 m
↓
N 53.242208°
E115.301514°		 ← 365.52 m →
133 592 m²		 N 53.242208°
E115.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820289611816406 y=0.324623107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820289611816406 × 216)
    floor (0.820289611816406 × 65536)
    floor (53758.5)     		tx = 53758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324623107910156 × 216)
    floor (0.324623107910156 × 65536)
    floor (21274.5)     		ty = 21274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53758 / 21274 ti = "16/53758/21274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53758/21274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53758 ÷ 216
    53758 ÷ 65536     		x = 0.820281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21274 ÷ 216
    21274 ÷ 65536     		y = 0.324615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820281982421875 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01239105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324615478515625 × 2 - 1) × π
    0.35076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10197344846585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01239105} λ = 2.01239105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10197344846585))-π/2
    2×atan(3.01010044448814)-π/2
    2×1.25005276518324-π/2
    2.50010553036649-1.57079632675     		φ = 0.92930920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01239105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92930920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.245495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53758 KachelY 21274 2.01239105 0.92930920 115.301514 53.245495
    Oben rechts KachelX + 1 53759 KachelY 21274 2.01248692 0.92930920 115.307007 53.245495
    Unten links KachelX 53758 KachelY + 1 21275 2.01239105 0.92925183 115.301514 53.242208
    Unten rechts KachelX + 1 53759 KachelY + 1 21275 2.01248692 0.92925183 115.307007 53.242208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92930920-0.92925183) × R
    5.73699999999455e-05 × 6371000     		dl = 365.504269999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92930920-0.92925183) × R
    5.73699999999455e-05 × 6371000     		dr = 365.504269999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01239105-2.01248692) × cos(0.92930920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598387598653849 × 6371000     		do = 365.487826977431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01239105-2.01248692) × cos(0.92925183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598433562901243 × 6371000     		du = 365.515901377597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92930920)-sin(0.92925183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598387598653849-0.598433562901243)×R²
    abs(2.01248692-2.01239105)×4.59642473946698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59642473946698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59642473946698e-05×40589641000000     		ar = 133592.492086279m²