Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53755 / 21258
↖ ↑ ↗
← N 53.298055°
E115.285034°		 ← 365.08 m → N 53.298055°
E115.290527°		 →
↑
365.06 m
↓
↑
365.06 m
↓
N 53.294772°
E115.285034°		 ← 365.10 m →
133 279 m²		 N 53.294772°
E115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820243835449219 y=0.324378967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820243835449219 × 216)
    floor (0.820243835449219 × 65536)
    floor (53755.5)     		tx = 53755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324378967285156 × 216)
    floor (0.324378967285156 × 65536)
    floor (21258.5)     		ty = 21258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53755 / 21258 ti = "16/53755/21258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53755/21258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53755 ÷ 216
    53755 ÷ 65536     		x = 0.820236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21258 ÷ 216
    21258 ÷ 65536     		y = 0.324371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820236206054688 × 2 - 1) × π
    0.640472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01210342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324371337890625 × 2 - 1) × π
    0.35125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10350742925369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01210342} λ = 2.01210342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10350742925369))-π/2
    2×atan(3.01472142408028)-π/2
    2×1.2505114407346-π/2
    2.50102288146919-1.57079632675     		φ = 0.93022655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01210342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.285034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93022655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.298055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53755 KachelY 21258 2.01210342 0.93022655 115.285034 53.298055
    Oben rechts KachelX + 1 53756 KachelY 21258 2.01219930 0.93022655 115.290527 53.298055
    Unten links KachelX 53755 KachelY + 1 21259 2.01210342 0.93016925 115.285034 53.294772
    Unten rechts KachelX + 1 53756 KachelY + 1 21259 2.01219930 0.93016925 115.290527 53.294772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93022655-0.93016925) × R
    5.73000000000379e-05 × 6371000     		dl = 365.058300000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93022655-0.93016925) × R
    5.73000000000379e-05 × 6371000     		dr = 365.058300000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01210342-2.01219930) × cos(0.93022655) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.597652359949359 × 6371000     		do = 365.076828600319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01210342-2.01219930) × cos(0.93016925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.597698299550306 × 6371000     		du = 365.104890873548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93022655)-sin(0.93016925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597652359949359-0.597698299550306)×R²
    abs(2.01219930-2.01210342)×4.59396009468982e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59396009468982e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59396009468982e-05×40589641000000     		ar = 133279.448637701m²