Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53755 / 20951
↖ ↑ ↗
← N 54.294088°
E115.285034°		 ← 356.51 m → N 54.294088°
E115.290527°		 →
↑
356.52 m
↓
↑
356.52 m
↓
N 54.290882°
E115.285034°		 ← 356.54 m →
127 108 m²		 N 54.290882°
E115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820243835449219 y=0.319694519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820243835449219 × 216)
    floor (0.820243835449219 × 65536)
    floor (53755.5)     		tx = 53755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319694519042969 × 216)
    floor (0.319694519042969 × 65536)
    floor (20951.5)     		ty = 20951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53755 / 20951 ti = "16/53755/20951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53755/20951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53755 ÷ 216
    53755 ÷ 65536     		x = 0.820236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20951 ÷ 216
    20951 ÷ 65536     		y = 0.319686889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820236206054688 × 2 - 1) × π
    0.640472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01210342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319686889648438 × 2 - 1) × π
    0.360626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13294068562041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01210342} λ = 2.01210342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13294068562041))-π/2
    2×atan(3.10477325085939)-π/2
    2×1.25920346092199-π/2
    2.51840692184398-1.57079632675     		φ = 0.94761060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01210342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.285034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94761060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.294088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53755 KachelY 20951 2.01210342 0.94761060 115.285034 54.294088
    Oben rechts KachelX + 1 53756 KachelY 20951 2.01219930 0.94761060 115.290527 54.294088
    Unten links KachelX 53755 KachelY + 1 20952 2.01210342 0.94755464 115.285034 54.290882
    Unten rechts KachelX + 1 53756 KachelY + 1 20952 2.01219930 0.94755464 115.290527 54.290882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94761060-0.94755464) × R
    5.5959999999966e-05 × 6371000     		dl = 356.521159999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94761060-0.94755464) × R
    5.5959999999966e-05 × 6371000     		dr = 356.521159999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01210342-2.01219930) × cos(0.94761060) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.583625002140472 × 6371000     		do = 356.508196322277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01210342-2.01219930) × cos(0.94755464) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58367044205109 × 6371000     		du = 356.535953358929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94761060)-sin(0.94755464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583625002140472-0.58367044205109)×R²
    abs(2.01219930-2.01210342)×4.54399106174508e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54399106174508e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54399106174508e-05×40589641000000     		ar = 127107.663720843m²