Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53754 / 20953
↖ ↑ ↗
← N 54.287675°
E115.279541°		 ← 356.53 m → N 54.287675°
E115.285034°		 →
↑
356.58 m
↓
↑
356.58 m
↓
N 54.284469°
E115.279541°		 ← 356.55 m →
127 137 m²		 N 54.284469°
E115.285034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820228576660156 y=0.319725036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820228576660156 × 216)
    floor (0.820228576660156 × 65536)
    floor (53754.5)     		tx = 53754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319725036621094 × 216)
    floor (0.319725036621094 × 65536)
    floor (20953.5)     		ty = 20953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53754 / 20953 ti = "16/53754/20953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53754/20953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53754 ÷ 216
    53754 ÷ 65536     		x = 0.820220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20953 ÷ 216
    20953 ÷ 65536     		y = 0.319717407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820220947265625 × 2 - 1) × π
    0.64044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01200755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319717407226562 × 2 - 1) × π
    0.360565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13274893802193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01200755} λ = 2.01200755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13274893802193))-π/2
    2×atan(3.10417797511788)-π/2
    2×1.25914750221906-π/2
    2.51829500443813-1.57079632675     		φ = 0.94749868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01200755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94749868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.287675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53754 KachelY 20953 2.01200755 0.94749868 115.279541 54.287675
    Oben rechts KachelX + 1 53755 KachelY 20953 2.01210342 0.94749868 115.285034 54.287675
    Unten links KachelX 53754 KachelY + 1 20954 2.01200755 0.94744271 115.279541 54.284469
    Unten rechts KachelX + 1 53755 KachelY + 1 20954 2.01210342 0.94744271 115.285034 54.284469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94749868-0.94744271) × R
    5.59700000000163e-05 × 6371000     		dl = 356.584870000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94749868-0.94744271) × R
    5.59700000000163e-05 × 6371000     		dr = 356.584870000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01200755-2.01210342) × cos(0.94749868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58371588013393 × 6371000     		do = 356.526520740583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01200755-2.01210342) × cos(0.94744271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583761324508106 × 6371000     		du = 356.554277608544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94749868)-sin(0.94744271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58371588013393-0.583761324508106)×R²
    abs(2.01210342-2.01200755)×4.54443741751964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54443741751964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54443741751964e-05×40589641000000     		ar = 127136.911922635m²