Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53753 / 21257
↖ ↑ ↗
← N 53.301338°
E115.274048°		 ← 365.01 m → N 53.301338°
E115.279541°		 →
↑
365.06 m
↓
↑
365.06 m
↓
N 53.298055°
E115.274048°		 ← 365.04 m →
133 255 m²		 N 53.298055°
E115.279541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820213317871094 y=0.324363708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820213317871094 × 216)
    floor (0.820213317871094 × 65536)
    floor (53753.5)     		tx = 53753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324363708496094 × 216)
    floor (0.324363708496094 × 65536)
    floor (21257.5)     		ty = 21257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53753 / 21257 ti = "16/53753/21257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53753/21257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53753 ÷ 216
    53753 ÷ 65536     		x = 0.820205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21257 ÷ 216
    21257 ÷ 65536     		y = 0.324356079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820205688476562 × 2 - 1) × π
    0.640411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01191168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324356079101562 × 2 - 1) × π
    0.351287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10360330305293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01191168} λ = 2.01191168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10360330305293))-π/2
    2×atan(3.01501047073264)-π/2
    2×1.25054008923451-π/2
    2.50108017846901-1.57079632675     		φ = 0.93028385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01191168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.274048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93028385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.301338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53753 KachelY 21257 2.01191168 0.93028385 115.274048 53.301338
    Oben rechts KachelX + 1 53754 KachelY 21257 2.01200755 0.93028385 115.279541 53.301338
    Unten links KachelX 53753 KachelY + 1 21258 2.01191168 0.93022655 115.274048 53.298055
    Unten rechts KachelX + 1 53754 KachelY + 1 21258 2.01200755 0.93022655 115.279541 53.298055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93028385-0.93022655) × R
    5.73000000000379e-05 × 6371000     		dl = 365.058300000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93028385-0.93022655) × R
    5.73000000000379e-05 × 6371000     		dr = 365.058300000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01191168-2.01200755) × cos(0.93028385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597606418386146 × 6371000     		do = 365.010691623753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01191168-2.01200755) × cos(0.93022655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597652359949359 × 6371000     		du = 365.038752168698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93028385)-sin(0.93022655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597606418386146-0.597652359949359)×R²
    abs(2.01200755-2.01191168)×4.59415632130256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59415632130256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59415632130256e-05×40589641000000     		ar = 133255.304470203m²