Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53752 / 21259
↖ ↑ ↗
← N 53.294772°
E115.268555°		 ← 365.10 m → N 53.294772°
E115.274048°		 →
↑
365.06 m
↓
↑
365.06 m
↓
N 53.291489°
E115.268555°		 ← 365.13 m →
133 290 m²		 N 53.291489°
E115.274048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820198059082031 y=0.324394226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820198059082031 × 216)
    floor (0.820198059082031 × 65536)
    floor (53752.5)     		tx = 53752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324394226074219 × 216)
    floor (0.324394226074219 × 65536)
    floor (21259.5)     		ty = 21259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53752 / 21259 ti = "16/53752/21259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53752/21259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53752 ÷ 216
    53752 ÷ 65536     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21259 ÷ 216
    21259 ÷ 65536     		y = 0.324386596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324386596679688 × 2 - 1) × π
    0.351226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10341155545445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10341155545445))-π/2
    2×atan(3.0144324051386)-π/2
    2×1.25048279003247-π/2
    2.50096558006494-1.57079632675     		φ = 0.93016925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93016925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.294772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53752 KachelY 21259 2.01181580 0.93016925 115.268555 53.294772
    Oben rechts KachelX + 1 53753 KachelY 21259 2.01191168 0.93016925 115.274048 53.294772
    Unten links KachelX 53752 KachelY + 1 21260 2.01181580 0.93011195 115.268555 53.291489
    Unten rechts KachelX + 1 53753 KachelY + 1 21260 2.01191168 0.93011195 115.274048 53.291489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93016925-0.93011195) × R
    5.72999999999269e-05 × 6371000     		dl = 365.058299999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93016925-0.93011195) × R
    5.72999999999269e-05 × 6371000     		dr = 365.058299999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01191168) × cos(0.93016925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.597698299550306 × 6371000     		do = 365.104890873548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01191168) × cos(0.93011195) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.597744237188836 × 6371000     		du = 365.132951948032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93016925)-sin(0.93011195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597698299550306-0.597744237188836)×R²
    abs(2.01191168-2.01181580)×4.59376385300025e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59376385300025e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59376385300025e-05×40589641000000     		ar = 133289.692784363m²