Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53752 / 21175
↖ ↑ ↗
← N 53.569676°
E115.268555°		 ← 362.75 m → N 53.569676°
E115.274048°		 →
↑
362.70 m
↓
↑
362.70 m
↓
N 53.566414°
E115.268555°		 ← 362.78 m →
131 575 m²		 N 53.566414°
E115.274048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820198059082031 y=0.323112487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820198059082031 × 216)
    floor (0.820198059082031 × 65536)
    floor (53752.5)     		tx = 53752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323112487792969 × 216)
    floor (0.323112487792969 × 65536)
    floor (21175.5)     		ty = 21175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53752 / 21175 ti = "16/53752/21175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53752/21175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53752 ÷ 216
    53752 ÷ 65536     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21175 ÷ 216
    21175 ÷ 65536     		y = 0.323104858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323104858398438 × 2 - 1) × π
    0.353790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11146495459062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11146495459062))-π/2
    2×atan(3.03880684929181)-π/2
    2×1.25288177929032-π/2
    2.50576355858064-1.57079632675     		φ = 0.93496723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93496723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.569676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53752 KachelY 21175 2.01181580 0.93496723 115.268555 53.569676
    Oben rechts KachelX + 1 53753 KachelY 21175 2.01191168 0.93496723 115.274048 53.569676
    Unten links KachelX 53752 KachelY + 1 21176 2.01181580 0.93491030 115.268555 53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 53753 KachelY + 1 21176 2.01191168 0.93491030 115.274048 53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93496723-0.93491030) × R
    5.69300000000661e-05 × 6371000     		dl = 362.701030000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93496723-0.93491030) × R
    5.69300000000661e-05 × 6371000     		dr = 362.701030000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01191168) × cos(0.93496723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.593844792767006 × 6371000     		do = 362.750970551781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01191168) × cos(0.93491030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 362.778949843501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93496723)-sin(0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593844792767006-0.593890596522316)×R²
    abs(2.01191168-2.01181580)×4.58037553094925e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.58037553094925e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.58037553094925e-05×40589641000000     		ar = 131575.224747338m²