Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53752 / 20950
↖ ↑ ↗
← N 54.297294°
E115.268555°		 ← 356.48 m → N 54.297294°
E115.274048°		 →
↑
356.46 m
↓
↑
356.46 m
↓
N 54.294088°
E115.268555°		 ← 356.51 m →
127 075 m²		 N 54.294088°
E115.274048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820198059082031 y=0.319679260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820198059082031 × 216)
    floor (0.820198059082031 × 65536)
    floor (53752.5)     		tx = 53752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319679260253906 × 216)
    floor (0.319679260253906 × 65536)
    floor (20950.5)     		ty = 20950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53752 / 20950 ti = "16/53752/20950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53752/20950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53752 ÷ 216
    53752 ÷ 65536     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20950 ÷ 216
    20950 ÷ 65536     		y = 0.319671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319671630859375 × 2 - 1) × π
    0.36065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13303655941965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13303655941965))-π/2
    2×atan(3.10507093153638)-π/2
    2×1.2592314370063-π/2
    2.5184628740126-1.57079632675     		φ = 0.94766655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94766655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.297294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53752 KachelY 20950 2.01181580 0.94766655 115.268555 54.297294
    Oben rechts KachelX + 1 53753 KachelY 20950 2.01191168 0.94766655 115.274048 54.297294
    Unten links KachelX 53752 KachelY + 1 20951 2.01181580 0.94761060 115.268555 54.294088
    Unten rechts KachelX + 1 53753 KachelY + 1 20951 2.01191168 0.94761060 115.274048 54.294088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94766655-0.94761060) × R
    5.59500000000268e-05 × 6371000     		dl = 356.457450000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94766655-0.94761060) × R
    5.59500000000268e-05 × 6371000     		dr = 356.457450000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01191168) × cos(0.94766655) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58357956852278 × 6371000     		do = 356.480443129668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01191168) × cos(0.94761060) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.583625002140472 × 6371000     		du = 356.508196322277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94766655)-sin(0.94761060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58357956852278-0.583625002140472)×R²
    abs(2.01191168-2.01181580)×4.54336176921588e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54336176921588e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54336176921588e-05×40589641000000     		ar = 127075.056182379m²