Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53751 / 27159
↖ ↑ ↗
← N 29.425245°
E115.263062°		 ← 531.99 m → N 29.425245°
E115.268555°		 →
↑
532.04 m
↓
↑
532.04 m
↓
N 29.420460°
E115.263062°		 ← 532.02 m →
283 050 m²		 N 29.420460°
E115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820182800292969 y=0.414421081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820182800292969 × 216)
    floor (0.820182800292969 × 65536)
    floor (53751.5)     		tx = 53751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414421081542969 × 216)
    floor (0.414421081542969 × 65536)
    floor (27159.5)     		ty = 27159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53751 / 27159 ti = "16/53751/27159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53751/27159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53751 ÷ 216
    53751 ÷ 65536     		x = 0.820175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27159 ÷ 216
    27159 ÷ 65536     		y = 0.414413452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820175170898438 × 2 - 1) × π
    0.640350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01171993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414413452148438 × 2 - 1) × π
    0.171173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.53775613993779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01171993} λ = 2.01171993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.53775613993779))-π/2
    2×atan(1.71216069965932)-π/2
    2×1.04218186749197-π/2
    2.08436373498395-1.57079632675     		φ = 0.51356741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01171993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.263062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51356741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.425245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53751 KachelY 27159 2.01171993 0.51356741 115.263062 29.425245
    Oben rechts KachelX + 1 53752 KachelY 27159 2.01181580 0.51356741 115.268555 29.425245
    Unten links KachelX 53751 KachelY + 1 27160 2.01171993 0.51348390 115.263062 29.420460
    Unten rechts KachelX + 1 53752 KachelY + 1 27160 2.01181580 0.51348390 115.268555 29.420460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51356741-0.51348390) × R
    8.35099999999533e-05 × 6371000     		dl = 532.042209999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51356741-0.51348390) × R
    8.35099999999533e-05 × 6371000     		dr = 532.042209999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01171993-2.01181580) × cos(0.51356741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870997429499231 × 6371000     		do = 531.994577639556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01171993-2.01181580) × cos(0.51348390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871038453887137 × 6371000     		du = 532.01963483396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51356741)-sin(0.51348390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870997429499231-0.871038453887137)×R²
    abs(2.01181580-2.01171993)×4.10243879060967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.10243879060967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.10243879060967e-05×40589641000000     		ar = 283050.236702148m²