Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53751 / 13832
↖ ↑ ↗
← N 80.412048°
W 32.368469°		 ← 50.86 m → N 80.412048°
W 32.365723°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.411591°
W 32.368469°		 ← 50.86 m →
2 586 m²		 N 80.411591°
W 32.365723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410091400146484 y=0.105533599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410091400146484 × 217)
    floor (0.410091400146484 × 131072)
    floor (53751.5)     		tx = 53751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105533599853516 × 217)
    floor (0.105533599853516 × 131072)
    floor (13832.5)     		ty = 13832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53751 / 13832 ti = "17/53751/13832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53751/13832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53751 ÷ 217
    53751 ÷ 131072     		x = 0.410087585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13832 ÷ 217
    13832 ÷ 131072     		y = 0.10552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410087585449219 × 2 - 1) × π
    -0.179824829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.56493636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10552978515625 × 2 - 1) × π
    0.7889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47852945795538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56493636} λ = -0.56493636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47852945795538))-π/2
    2×atan(11.9237171915859)-π/2
    2×1.4871256642945-π/2
    2.97425132858899-1.57079632675     		φ = 1.40345500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56493636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.368469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40345500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.412048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53751 KachelY 13832 -0.56493636 1.40345500 -32.368469 80.412048
    Oben rechts KachelX + 1 53752 KachelY 13832 -0.56488843 1.40345500 -32.365723 80.412048
    Unten links KachelX 53751 KachelY + 1 13833 -0.56493636 1.40344702 -32.368469 80.411591
    Unten rechts KachelX + 1 53752 KachelY + 1 13833 -0.56488843 1.40344702 -32.365723 80.411591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40345500-1.40344702) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40345500-1.40344702) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56493636--0.56488843) × cos(1.40345500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166561406406841 × 6371000     		do = 50.8615291800792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56493636--0.56488843) × cos(1.40344702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166569274929585 × 6371000     		du = 50.8639319281573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40345500)-sin(1.40344702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166561406406841-0.166569274929585)×R²
    abs(-0.56488843--0.56493636)×7.86852274389793e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.86852274389793e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.86852274389793e-06×40589641000000     		ar = 2585.89072166597m²