Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5375 / 5887
↖ ↑ ↗
← N 45.104546°
W 61.896973°		 ← 1 724.50 m → N 45.104546°
W 61.875000°		 →
↑
1 724.69 m
↓
↑
1 724.69 m
↓
N 45.089036°
W 61.896973°		 ← 1 724.97 m →
2 974 644 m²		 N 45.089036°
W 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.328094482421875 y=0.359344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.328094482421875 × 214)
    floor (0.328094482421875 × 16384)
    floor (5375.5)     		tx = 5375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359344482421875 × 214)
    floor (0.359344482421875 × 16384)
    floor (5887.5)     		ty = 5887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5375 / 5887 ti = "14/5375/5887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5375/5887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5375 ÷ 214
    5375 ÷ 16384     		x = 0.32806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5887 ÷ 214
    5887 ÷ 16384     		y = 0.35931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.3438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.08030597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883956428993835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08030597} λ = -1.08030597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883956428993835))-π/2
    2×atan(2.42045715413138)-π/2
    2×1.17900958375039-π/2
    2.35801916750079-1.57079632675     		φ = 0.78722284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08030597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78722284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.104546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5375 KachelY 5887 -1.08030597 0.78722284 -61.896973 45.104546
    Oben rechts KachelX + 1 5376 KachelY 5887 -1.07992247 0.78722284 -61.875000 45.104546
    Unten links KachelX 5375 KachelY + 1 5888 -1.08030597 0.78695213 -61.896973 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 5376 KachelY + 1 5888 -1.07992247 0.78695213 -61.875000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78722284-0.78695213) × R
    0.000270710000000007 × 6371000     		dl = 1724.69341000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78722284-0.78695213) × R
    0.000270710000000007 × 6371000     		dr = 1724.69341000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08030597--1.07992247) × cos(0.78722284) × R
    0.00038349999999987 × 0.705815363567238 × 6371000     		do = 1724.50350277293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08030597--1.07992247) × cos(0.78695213) × R
    0.00038349999999987 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 1724.97198670279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78722284)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705815363567238-0.706007107541517)×R²
    abs(-1.07992247--1.08030597)×0.000191743974278902×R²
    0.00038349999999987×0.000191743974278902×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191743974278902×40589641000000     		ar = 2974643.8404934m²