Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53749 / 20955
↖ ↑ ↗
← N 54.281262°
E115.252075°		 ← 356.62 m → N 54.281262°
E115.257569°		 →
↑
356.58 m
↓
↑
356.58 m
↓
N 54.278055°
E115.252075°		 ← 356.65 m →
127 170 m²		 N 54.278055°
E115.257569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820152282714844 y=0.319755554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820152282714844 × 216)
    floor (0.820152282714844 × 65536)
    floor (53749.5)     		tx = 53749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319755554199219 × 216)
    floor (0.319755554199219 × 65536)
    floor (20955.5)     		ty = 20955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53749 / 20955 ti = "16/53749/20955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53749/20955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53749 ÷ 216
    53749 ÷ 65536     		x = 0.820144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20955 ÷ 216
    20955 ÷ 65536     		y = 0.319747924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820144653320312 × 2 - 1) × π
    0.640289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01152818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319747924804688 × 2 - 1) × π
    0.360504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13255719042345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01152818} λ = 2.01152818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13255719042345))-π/2
    2×atan(3.10358281350812)-π/2
    2×1.25909153480319-π/2
    2.51818306960639-1.57079632675     		φ = 0.94738674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01152818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94738674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.281262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53749 KachelY 20955 2.01152818 0.94738674 115.252075 54.281262
    Oben rechts KachelX + 1 53750 KachelY 20955 2.01162406 0.94738674 115.257569 54.281262
    Unten links KachelX 53749 KachelY + 1 20956 2.01152818 0.94733077 115.252075 54.278055
    Unten rechts KachelX + 1 53750 KachelY + 1 20956 2.01162406 0.94733077 115.257569 54.278055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94738674-0.94733077) × R
    5.59700000000163e-05 × 6371000     		dl = 356.584870000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94738674-0.94733077) × R
    5.59700000000163e-05 × 6371000     		dr = 356.584870000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01152818-2.01162406) × cos(0.94738674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.583806767053566 × 6371000     		do = 356.619227688452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01152818-2.01162406) × cos(0.94733077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58385220777017 × 6371000     		du = 356.646985217442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94738674)-sin(0.94733077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583806767053566-0.58385220777017)×R²
    abs(2.01162406-2.01152818)×4.54407166036175e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54407166036175e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54407166036175e-05×40589641000000     		ar = 127169.969935769m²