Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53748 / 20966
↖ ↑ ↗
← N 54.245970°
E115.246582°		 ← 356.89 m → N 54.245970°
E115.252075°		 →
↑
356.90 m
↓
↑
356.90 m
↓
N 54.242761°
E115.246582°		 ← 356.92 m →
127 379 m²		 N 54.242761°
E115.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820137023925781 y=0.319923400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820137023925781 × 216)
    floor (0.820137023925781 × 65536)
    floor (53748.5)     		tx = 53748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319923400878906 × 216)
    floor (0.319923400878906 × 65536)
    floor (20966.5)     		ty = 20966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53748 / 20966 ti = "16/53748/20966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53748/20966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53748 ÷ 216
    53748 ÷ 65536     		x = 0.82012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20966 ÷ 216
    20966 ÷ 65536     		y = 0.319915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82012939453125 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01143231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319915771484375 × 2 - 1) × π
    0.36016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13150257863181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01143231} λ = 2.01143231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13150257863181))-π/2
    2×atan(3.10031146378186)-π/2
    2×1.25878355824276-π/2
    2.51756711648552-1.57079632675     		φ = 0.94677079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01143231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94677079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.245970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53748 KachelY 20966 2.01143231 0.94677079 115.246582 54.245970
    Oben rechts KachelX + 1 53749 KachelY 20966 2.01152818 0.94677079 115.252075 54.245970
    Unten links KachelX 53748 KachelY + 1 20967 2.01143231 0.94671477 115.246582 54.242761
    Unten rechts KachelX + 1 53749 KachelY + 1 20967 2.01152818 0.94671477 115.252075 54.242761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94677079-0.94671477) × R
    5.60199999999345e-05 × 6371000     		dl = 356.903419999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94677079-0.94671477) × R
    5.60199999999345e-05 × 6371000     		dr = 356.903419999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01143231-2.01152818) × cos(0.94677079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584306741546992 × 6371000     		do = 356.887411665446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01143231-2.01152818) × cos(0.94671477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584352202702626 × 6371000     		du = 356.915178783317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94677079)-sin(0.94671477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584306741546992-0.584352202702626)×R²
    abs(2.01152818-2.01143231)×4.54611556344187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54611556344187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54611556344187e-05×40589641000000     		ar = 127379.29290081m²