Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53747 / 21140
↖ ↑ ↗
← N 53.683695°
E115.241089°		 ← 361.77 m → N 53.683695°
E115.246582°		 →
↑
361.75 m
↓
↑
361.75 m
↓
N 53.680442°
E115.241089°		 ← 361.80 m →
130 874 m²		 N 53.680442°
E115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820121765136719 y=0.322578430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820121765136719 × 216)
    floor (0.820121765136719 × 65536)
    floor (53747.5)     		tx = 53747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322578430175781 × 216)
    floor (0.322578430175781 × 65536)
    floor (21140.5)     		ty = 21140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53747 / 21140 ti = "16/53747/21140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53747/21140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53747 ÷ 216
    53747 ÷ 65536     		x = 0.820114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21140 ÷ 216
    21140 ÷ 65536     		y = 0.32257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820114135742188 × 2 - 1) × π
    0.640228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01133643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32257080078125 × 2 - 1) × π
    0.3548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11482053756403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01133643} λ = 2.01133643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11482053756403))-π/2
    2×atan(3.049020945354)-π/2
    2×1.25387678259148-π/2
    2.50775356518297-1.57079632675     		φ = 0.93695724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01133643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.241089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93695724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.683695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53747 KachelY 21140 2.01133643 0.93695724 115.241089 53.683695
    Oben rechts KachelX + 1 53748 KachelY 21140 2.01143231 0.93695724 115.246582 53.683695
    Unten links KachelX 53747 KachelY + 1 21141 2.01133643 0.93690046 115.241089 53.680442
    Unten rechts KachelX + 1 53748 KachelY + 1 21141 2.01143231 0.93690046 115.246582 53.680442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93695724-0.93690046) × R
    5.67799999999785e-05 × 6371000     		dl = 361.745379999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93695724-0.93690046) × R
    5.67799999999785e-05 × 6371000     		dr = 361.745379999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01133643-2.01143231) × cos(0.93695724) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.592242496483858 × 6371000     		do = 361.772205495822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01133643-2.01143231) × cos(0.93690046) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.592288246569537 × 6371000     		du = 361.800152003369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93695724)-sin(0.93690046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592242496483858-0.592288246569537)×R²
    abs(2.01143231-2.01133643)×4.5750085679086e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.5750085679086e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.5750085679086e-05×40589641000000     		ar = 130874.478745729m²