Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53747 / 20978
↖ ↑ ↗
← N 54.207436°
E115.241089°		 ← 357.26 m → N 54.207436°
E115.246582°		 →
↑
357.22 m
↓
↑
357.22 m
↓
N 54.204224°
E115.241089°		 ← 357.29 m →
127 625 m²		 N 54.204224°
E115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820121765136719 y=0.320106506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820121765136719 × 216)
    floor (0.820121765136719 × 65536)
    floor (53747.5)     		tx = 53747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320106506347656 × 216)
    floor (0.320106506347656 × 65536)
    floor (20978.5)     		ty = 20978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53747 / 20978 ti = "16/53747/20978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53747/20978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53747 ÷ 216
    53747 ÷ 65536     		x = 0.820114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20978 ÷ 216
    20978 ÷ 65536     		y = 0.320098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820114135742188 × 2 - 1) × π
    0.640228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01133643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320098876953125 × 2 - 1) × π
    0.35980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13035209304092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01133643} λ = 2.01133643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13035209304092))-π/2
    2×atan(3.09674665114153)-π/2
    2×1.25844728306616-π/2
    2.51689456613232-1.57079632675     		φ = 0.94609824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01133643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.241089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94609824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53747 KachelY 20978 2.01133643 0.94609824 115.241089 54.207436
    Oben rechts KachelX + 1 53748 KachelY 20978 2.01143231 0.94609824 115.246582 54.207436
    Unten links KachelX 53747 KachelY + 1 20979 2.01133643 0.94604217 115.241089 54.204224
    Unten rechts KachelX + 1 53748 KachelY + 1 20979 2.01143231 0.94604217 115.246582 54.204224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94609824-0.94604217) × R
    5.60699999999636e-05 × 6371000     		dl = 357.221969999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94609824-0.94604217) × R
    5.60699999999636e-05 × 6371000     		dr = 357.221969999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01133643-2.01143231) × cos(0.94609824) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58485240580328 × 6371000     		do = 357.25795766626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01133643-2.01143231) × cos(0.94604217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.584897885488638 × 6371000     		du = 357.285738999371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94609824)-sin(0.94604217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58485240580328-0.584897885488638)×R²
    abs(2.01143231-2.01133643)×4.5479685358174e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.5479685358174e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.5479685358174e-05×40589641000000     		ar = 127625.353520202m²