Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53746 / 20979
↖ ↑ ↗
← N 54.204224°
E115.235596°		 ← 357.25 m → N 54.204224°
E115.241089°		 →
↑
357.29 m
↓
↑
357.29 m
↓
N 54.201010°
E115.235596°		 ← 357.28 m →
127 645 m²		 N 54.201010°
E115.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820106506347656 y=0.320121765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820106506347656 × 216)
    floor (0.820106506347656 × 65536)
    floor (53746.5)     		tx = 53746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320121765136719 × 216)
    floor (0.320121765136719 × 65536)
    floor (20979.5)     		ty = 20979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53746 / 20979 ti = "16/53746/20979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53746/20979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53746 ÷ 216
    53746 ÷ 65536     		x = 0.820098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20979 ÷ 216
    20979 ÷ 65536     		y = 0.320114135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820098876953125 × 2 - 1) × π
    0.64019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01124056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320114135742188 × 2 - 1) × π
    0.359771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13025621924168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01124056} λ = 2.01124056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13025621924168))-π/2
    2×atan(3.09644976850666)-π/2
    2×1.25841924596491-π/2
    2.51683849192982-1.57079632675     		φ = 0.94604217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01124056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.235596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94604217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.204224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53746 KachelY 20979 2.01124056 0.94604217 115.235596 54.204224
    Oben rechts KachelX + 1 53747 KachelY 20979 2.01133643 0.94604217 115.241089 54.204224
    Unten links KachelX 53746 KachelY + 1 20980 2.01124056 0.94598609 115.235596 54.201010
    Unten rechts KachelX + 1 53747 KachelY + 1 20980 2.01133643 0.94598609 115.241089 54.201010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94604217-0.94598609) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dl = 357.285680000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94604217-0.94598609) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dr = 357.285680000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01124056-2.01133643) × cos(0.94604217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584897885488638 × 6371000     		do = 357.248475155313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01124056-2.01133643) × cos(0.94598609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58494337144591 × 6371000     		du = 357.276257421721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94604217)-sin(0.94598609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584897885488638-0.58494337144591)×R²
    abs(2.01133643-2.01124056)×4.54859572714961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54859572714961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54859572714961e-05×40589641000000     		ar = 127644.727511311m²