Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53746 / 20970
↖ ↑ ↗
← N 54.233130°
E115.235596°		 ← 357 m → N 54.233130°
E115.241089°		 →
↑
357.03 m
↓
↑
357.03 m
↓
N 54.229919°
E115.235596°		 ← 357.03 m →
127 464 m²		 N 54.229919°
E115.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820106506347656 y=0.319984436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820106506347656 × 216)
    floor (0.820106506347656 × 65536)
    floor (53746.5)     		tx = 53746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319984436035156 × 216)
    floor (0.319984436035156 × 65536)
    floor (20970.5)     		ty = 20970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53746 / 20970 ti = "16/53746/20970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53746/20970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53746 ÷ 216
    53746 ÷ 65536     		x = 0.820098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20970 ÷ 216
    20970 ÷ 65536     		y = 0.319976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820098876953125 × 2 - 1) × π
    0.64019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01124056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319976806640625 × 2 - 1) × π
    0.36004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13111908343485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01124056} λ = 2.01124056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13111908343485))-π/2
    2×atan(3.09912273717646)-π/2
    2×1.25867150139298-π/2
    2.51734300278596-1.57079632675     		φ = 0.94654668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01124056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.235596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94654668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.233130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53746 KachelY 20970 2.01124056 0.94654668 115.235596 54.233130
    Oben rechts KachelX + 1 53747 KachelY 20970 2.01133643 0.94654668 115.241089 54.233130
    Unten links KachelX 53746 KachelY + 1 20971 2.01124056 0.94649064 115.235596 54.229919
    Unten rechts KachelX + 1 53747 KachelY + 1 20971 2.01133643 0.94649064 115.241089 54.229919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94654668-0.94649064) × R
    5.60399999999239e-05 × 6371000     		dl = 357.030839999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94654668-0.94649064) × R
    5.60399999999239e-05 × 6371000     		dr = 357.030839999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01124056-2.01133643) × cos(0.94654668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584488599507991 × 6371000     		do = 356.998488283901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01124056-2.01133643) × cos(0.94649064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58453406955382 × 6371000     		du = 357.026260831795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94654668)-sin(0.94649064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584488599507991-0.58453406955382)×R²
    abs(2.01133643-2.01124056)×4.54700458287771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54700458287771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54700458287771e-05×40589641000000     		ar = 127464.428012205m²