Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53745 / 21241
↖ ↑ ↗
← N 53.353830°
E115.230103°		 ← 364.56 m → N 53.353830°
E115.235596°		 →
↑
364.55 m
↓
↑
364.55 m
↓
N 53.350551°
E115.230103°		 ← 364.59 m →
132 906 m²		 N 53.350551°
E115.235596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820091247558594 y=0.324119567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820091247558594 × 216)
    floor (0.820091247558594 × 65536)
    floor (53745.5)     		tx = 53745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324119567871094 × 216)
    floor (0.324119567871094 × 65536)
    floor (21241.5)     		ty = 21241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53745 / 21241 ti = "16/53745/21241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53745/21241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53745 ÷ 216
    53745 ÷ 65536     		x = 0.820083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21241 ÷ 216
    21241 ÷ 65536     		y = 0.324111938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820083618164062 × 2 - 1) × π
    0.640167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01114469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324111938476562 × 2 - 1) × π
    0.351776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10513728384077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01114469} λ = 2.01114469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10513728384077))-π/2
    2×atan(3.01963898799055)-π/2
    2×1.25099816579282-π/2
    2.50199633158565-1.57079632675     		φ = 0.93120000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01114469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.230103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93120000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.353830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53745 KachelY 21241 2.01114469 0.93120000 115.230103 53.353830
    Oben rechts KachelX + 1 53746 KachelY 21241 2.01124056 0.93120000 115.235596 53.353830
    Unten links KachelX 53745 KachelY + 1 21242 2.01114469 0.93114278 115.230103 53.350551
    Unten rechts KachelX + 1 53746 KachelY + 1 21242 2.01124056 0.93114278 115.235596 53.350551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93120000-0.93114278) × R
    5.722000000008e-05 × 6371000     		dl = 364.54862000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93120000-0.93114278) × R
    5.722000000008e-05 × 6371000     		dr = 364.54862000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01114469-2.01124056) × cos(0.93120000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596871608148689 × 6371000     		do = 364.561878517443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01114469-2.01124056) × cos(0.93114278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596917516881201 × 6371000     		du = 364.589919009798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93120000)-sin(0.93114278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596871608148689-0.596917516881201)×R²
    abs(2.01124056-2.01114469)×4.5908732512423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5908732512423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5908732512423e-05×40589641000000     		ar = 132905.640816007m²