Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53745 / 20985
↖ ↑ ↗
← N 54.184941°
E115.230103°		 ← 357.42 m → N 54.184941°
E115.235596°		 →
↑
357.48 m
↓
↑
357.48 m
↓
N 54.181726°
E115.230103°		 ← 357.44 m →
127 773 m²		 N 54.181726°
E115.235596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820091247558594 y=0.320213317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820091247558594 × 216)
    floor (0.820091247558594 × 65536)
    floor (53745.5)     		tx = 53745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320213317871094 × 216)
    floor (0.320213317871094 × 65536)
    floor (20985.5)     		ty = 20985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53745 / 20985 ti = "16/53745/20985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53745/20985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53745 ÷ 216
    53745 ÷ 65536     		x = 0.820083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20985 ÷ 216
    20985 ÷ 65536     		y = 0.320205688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820083618164062 × 2 - 1) × π
    0.640167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01114469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320205688476562 × 2 - 1) × π
    0.359588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12968097644624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01114469} λ = 2.01114469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12968097644624))-π/2
    2×atan(3.09466907030189)-π/2
    2×1.25825097756703-π/2
    2.51650195513407-1.57079632675     		φ = 0.94570563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01114469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.230103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94570563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.184941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53745 KachelY 20985 2.01114469 0.94570563 115.230103 54.184941
    Oben rechts KachelX + 1 53746 KachelY 20985 2.01124056 0.94570563 115.235596 54.184941
    Unten links KachelX 53745 KachelY + 1 20986 2.01114469 0.94564952 115.230103 54.181726
    Unten rechts KachelX + 1 53746 KachelY + 1 20986 2.01124056 0.94564952 115.235596 54.181726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94570563-0.94564952) × R
    5.61099999999426e-05 × 6371000     		dl = 357.476809999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94570563-0.94564952) × R
    5.61099999999426e-05 × 6371000     		dr = 357.476809999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01114469-2.01124056) × cos(0.94570563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		do = 357.415181615324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01114469-2.01124056) × cos(0.94564952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585216321531311 × 6371000     		du = 357.442971995705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94570563)-sin(0.94564952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585170822289601-0.585216321531311)×R²
    abs(2.01124056-2.01114469)×4.54992417099342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54992417099342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54992417099342e-05×40589641000000     		ar = 127772.606211021m²