Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53744 / 24049
↖ ↑ ↗
← N 43.129053°
E115.224609°		 ← 445.81 m → N 43.129053°
E115.230103°		 →
↑
445.84 m
↓
↑
445.84 m
↓
N 43.125043°
E115.224609°		 ← 445.84 m →
198 767 m²		 N 43.125043°
E115.230103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820075988769531 y=0.366966247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820075988769531 × 216)
    floor (0.820075988769531 × 65536)
    floor (53744.5)     		tx = 53744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366966247558594 × 216)
    floor (0.366966247558594 × 65536)
    floor (24049.5)     		ty = 24049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53744 / 24049 ti = "16/53744/24049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53744/24049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53744 ÷ 216
    53744 ÷ 65536     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24049 ÷ 216
    24049 ÷ 65536     		y = 0.366958618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366958618164062 × 2 - 1) × π
    0.266082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.835923655574539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835923655574539))-π/2
    2×atan(2.30694388609785)-π/2
    2×1.16177014630623-π/2
    2.32354029261246-1.57079632675     		φ = 0.75274397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75274397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.129053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53744 KachelY 24049 2.01104881 0.75274397 115.224609 43.129053
    Oben rechts KachelX + 1 53745 KachelY 24049 2.01114469 0.75274397 115.230103 43.129053
    Unten links KachelX 53744 KachelY + 1 24050 2.01104881 0.75267399 115.224609 43.125043
    Unten rechts KachelX + 1 53745 KachelY + 1 24050 2.01114469 0.75267399 115.230103 43.125043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75274397-0.75267399) × R
    6.9980000000025e-05 × 6371000     		dl = 445.842580000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75274397-0.75267399) × R
    6.9980000000025e-05 × 6371000     		dr = 445.842580000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01114469) × cos(0.75274397) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729815720335751 × 6371000     		do = 445.809012894067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01114469) × cos(0.75267399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729863559950463 × 6371000     		du = 445.838235793517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75274397)-sin(0.75267399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729815720335751-0.729863559950463)×R²
    abs(2.01114469-2.01104881)×4.78396147114424e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78396147114424e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78396147114424e-05×40589641000000     		ar = 198767.154983545m²