Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53743 / 20976
↖ ↑ ↗
← N 54.213861°
E115.219116°		 ← 357.17 m → N 54.213861°
E115.224609°		 →
↑
357.16 m
↓
↑
357.16 m
↓
N 54.210649°
E115.219116°		 ← 357.19 m →
127 569 m²		 N 54.210649°
E115.224609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820060729980469 y=0.320075988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820060729980469 × 216)
    floor (0.820060729980469 × 65536)
    floor (53743.5)     		tx = 53743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320075988769531 × 216)
    floor (0.320075988769531 × 65536)
    floor (20976.5)     		ty = 20976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53743 / 20976 ti = "16/53743/20976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53743/20976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53743 ÷ 216
    53743 ÷ 65536     		x = 0.820053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20976 ÷ 216
    20976 ÷ 65536     		y = 0.320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820053100585938 × 2 - 1) × π
    0.640106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01095294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320068359375 × 2 - 1) × π
    0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01095294} λ = 2.01095294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1305438406394))-π/2
    2×atan(3.09734050180789)-π/2
    2×1.2585033507279-π/2
    2.5170067014558-1.57079632675     		φ = 0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01095294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.219116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53743 KachelY 20976 2.01095294 0.94621037 115.219116 54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 53744 KachelY 20976 2.01104881 0.94621037 115.224609 54.213861
    Unten links KachelX 53743 KachelY + 1 20977 2.01095294 0.94615431 115.219116 54.210649
    Unten rechts KachelX + 1 53744 KachelY + 1 20977 2.01104881 0.94615431 115.224609 54.210649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94621037-0.94615431) × R
    5.60599999999134e-05 × 6371000     		dl = 357.158259999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94621037-0.94615431) × R
    5.60599999999134e-05 × 6371000     		dr = 357.158259999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01095294-2.01104881) × cos(0.94621037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 357.165141434203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01095294-2.01104881) × cos(0.94615431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584806924279236 × 6371000     		du = 357.192917161066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94621037)-sin(0.94615431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.584806924279236)×R²
    abs(2.01104881-2.01095294)×4.54752505325562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54752505325562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54752505325562e-05×40589641000000     		ar = 127569.440645528m²