Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53743 / 12813
↖ ↑ ↗
← N 80.867162°
W 32.390442°		 ← 48.48 m → N 80.867162°
W 32.387695°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.866726°
W 32.390442°		 ← 48.48 m →
2 350 m²		 N 80.866726°
W 32.387695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410030364990234 y=0.0977592468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410030364990234 × 217)
    floor (0.410030364990234 × 131072)
    floor (53743.5)     		tx = 53743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977592468261719 × 217)
    floor (0.0977592468261719 × 131072)
    floor (12813.5)     		ty = 12813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53743 / 12813 ti = "17/53743/12813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53743/12813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53743 ÷ 217
    53743 ÷ 131072     		x = 0.410026550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12813 ÷ 217
    12813 ÷ 131072     		y = 0.0977554321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410026550292969 × 2 - 1) × π
    -0.179946899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.56531986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0977554321289062 × 2 - 1) × π
    0.804489135742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.52737715866822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56531986} λ = -0.56531986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52737715866822))-π/2
    2×atan(12.5206234238342)-π/2
    2×1.491097276977-π/2
    2.98219455395401-1.57079632675     		φ = 1.41139823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56531986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.390442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41139823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.867162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53743 KachelY 12813 -0.56531986 1.41139823 -32.390442 80.867162
    Oben rechts KachelX + 1 53744 KachelY 12813 -0.56527192 1.41139823 -32.387695 80.867162
    Unten links KachelX 53743 KachelY + 1 12814 -0.56531986 1.41139062 -32.390442 80.866726
    Unten rechts KachelX + 1 53744 KachelY + 1 12814 -0.56527192 1.41139062 -32.387695 80.866726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41139823-1.41139062) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dl = 48.4833100010051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41139823-1.41139062) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dr = 48.4833100010051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56531986--0.56527192) × cos(1.41139823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158723962524602 × 6371000     		do = 48.4783837097771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56531986--0.56527192) × cos(1.41139062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158731476048026 × 6371000     		du = 48.4806785332288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41139823)-sin(1.41139062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158723962524602-0.158731476048026)×R²
    abs(-0.56527192--0.56531986)×7.51352342401312e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51352342401312e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51352342401312e-06×40589641000000     		ar = 2350.44813603942m²