Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53742 / 12812
↖ ↑ ↗
← N 80.867598°
W 32.393188°		 ← 48.47 m → N 80.867598°
W 32.390442°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.867162°
W 32.393188°		 ← 48.47 m →
2 350 m²		 N 80.867162°
W 32.390442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410022735595703 y=0.0977516174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410022735595703 × 217)
    floor (0.410022735595703 × 131072)
    floor (53742.5)     		tx = 53742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977516174316406 × 217)
    floor (0.0977516174316406 × 131072)
    floor (12812.5)     		ty = 12812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53742 / 12812 ti = "17/53742/12812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53742/12812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53742 ÷ 217
    53742 ÷ 131072     		x = 0.410018920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12812 ÷ 217
    12812 ÷ 131072     		y = 0.097747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410018920898438 × 2 - 1) × π
    -0.179962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56536779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097747802734375 × 2 - 1) × π
    0.80450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52742509556784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56536779} λ = -0.56536779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52742509556784))-π/2
    2×atan(12.5212236380886)-π/2
    2×1.49110108125437-π/2
    2.98220216250875-1.57079632675     		φ = 1.41140584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56536779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.393188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41140584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.867598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53742 KachelY 12812 -0.56536779 1.41140584 -32.393188 80.867598
    Oben rechts KachelX + 1 53743 KachelY 12812 -0.56531986 1.41140584 -32.390442 80.867598
    Unten links KachelX 53742 KachelY + 1 12813 -0.56536779 1.41139823 -32.393188 80.867162
    Unten rechts KachelX + 1 53743 KachelY + 1 12813 -0.56531986 1.41139823 -32.390442 80.867162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41140584-1.41139823) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41140584-1.41139823) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56536779--0.56531986) × cos(1.41140584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158716448991986 × 6371000     		do = 48.465977058614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56536779--0.56531986) × cos(1.41139823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158723962524602 × 6371000     		du = 48.4682714061861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41140584)-sin(1.41139823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158716448991986-0.158723962524602)×R²
    abs(-0.56531986--0.56536779)×7.5135326158271e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.5135326158271e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.5135326158271e-06×40589641000000     		ar = 2349.8466090262m²