Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53741 / 21118
↖ ↑ ↗
← N 53.755207°
E115.208130°		 ← 361.16 m → N 53.755207°
E115.213623°		 →
↑
361.17 m
↓
↑
361.17 m
↓
N 53.751959°
E115.208130°		 ← 361.19 m →
130 445 m²		 N 53.751959°
E115.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820030212402344 y=0.322242736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820030212402344 × 216)
    floor (0.820030212402344 × 65536)
    floor (53741.5)     		tx = 53741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322242736816406 × 216)
    floor (0.322242736816406 × 65536)
    floor (21118.5)     		ty = 21118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53741 / 21118 ti = "16/53741/21118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53741/21118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53741 ÷ 216
    53741 ÷ 65536     		x = 0.820022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21118 ÷ 216
    21118 ÷ 65536     		y = 0.322235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820022583007812 × 2 - 1) × π
    0.640045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01076119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322235107421875 × 2 - 1) × π
    0.35552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11692976114731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01076119} λ = 2.01076119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11692976114731))-π/2
    2×atan(3.0554587992878)-π/2
    2×1.25450083790113-π/2
    2.50900167580225-1.57079632675     		φ = 0.93820535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01076119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93820535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.755207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53741 KachelY 21118 2.01076119 0.93820535 115.208130 53.755207
    Oben rechts KachelX + 1 53742 KachelY 21118 2.01085707 0.93820535 115.213623 53.755207
    Unten links KachelX 53741 KachelY + 1 21119 2.01076119 0.93814866 115.208130 53.751959
    Unten rechts KachelX + 1 53742 KachelY + 1 21119 2.01085707 0.93814866 115.213623 53.751959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93820535-0.93814866) × R
    5.66900000000814e-05 × 6371000     		dl = 361.171990000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93820535-0.93814866) × R
    5.66900000000814e-05 × 6371000     		dr = 361.171990000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01076119-2.01085707) × cos(0.93820535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.591236358612895 × 6371000     		do = 361.157604688261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01076119-2.01085707) × cos(0.93814866) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.591282078053574 × 6371000     		du = 361.185532476264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93820535)-sin(0.93814866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591236358612895-0.591282078053574)×R²
    abs(2.01085707-2.01076119)×4.57194406788819e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.57194406788819e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.57194406788819e-05×40589641000000     		ar = 130445.054191502m²