Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53741 / 13906
↖ ↑ ↗
← N 80.378136°
W 32.395935°		 ← 51.05 m → N 80.378136°
W 32.393188°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.377677°
W 32.395935°		 ← 51.05 m →
2 605 m²		 N 80.377677°
W 32.393188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410015106201172 y=0.106098175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410015106201172 × 217)
    floor (0.410015106201172 × 131072)
    floor (53741.5)     		tx = 53741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106098175048828 × 217)
    floor (0.106098175048828 × 131072)
    floor (13906.5)     		ty = 13906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53741 / 13906 ti = "17/53741/13906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53741/13906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53741 ÷ 217
    53741 ÷ 131072     		x = 0.410011291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13906 ÷ 217
    13906 ÷ 131072     		y = 0.106094360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410011291503906 × 2 - 1) × π
    -0.179977416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.56541573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106094360351562 × 2 - 1) × π
    0.787811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4749821273835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56541573} λ = -0.56541573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4749821273835))-π/2
    2×atan(11.8814947578025)-π/2
    2×1.48682972286333-π/2
    2.97365944572665-1.57079632675     		φ = 1.40286312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56541573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.395935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40286312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.378136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53741 KachelY 13906 -0.56541573 1.40286312 -32.395935 80.378136
    Oben rechts KachelX + 1 53742 KachelY 13906 -0.56536779 1.40286312 -32.393188 80.378136
    Unten links KachelX 53741 KachelY + 1 13907 -0.56541573 1.40285511 -32.395935 80.377677
    Unten rechts KachelX + 1 53742 KachelY + 1 13907 -0.56536779 1.40285511 -32.393188 80.377677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40286312-1.40285511) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40286312-1.40285511) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56541573--0.56536779) × cos(1.40286312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167144989275492 × 6371000     		do = 51.0503820367257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56541573--0.56536779) × cos(1.40285511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167152886588066 × 6371000     		du = 51.0527940792625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40286312)-sin(1.40285511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167144989275492-0.167152886588066)×R²
    abs(-0.56536779--0.56541573)×7.89731257361259e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89731257361259e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89731257361259e-06×40589641000000     		ar = 2605.24983676088m²