Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53741 / 12815
↖ ↑ ↗
← N 80.866290°
W 32.395935°		 ← 48.48 m → N 80.866290°
W 32.393188°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.865854°
W 32.395935°		 ← 48.49 m →
2 351 m²		 N 80.865854°
W 32.393188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410015106201172 y=0.0977745056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410015106201172 × 217)
    floor (0.410015106201172 × 131072)
    floor (53741.5)     		tx = 53741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977745056152344 × 217)
    floor (0.0977745056152344 × 131072)
    floor (12815.5)     		ty = 12815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53741 / 12815 ti = "17/53741/12815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53741/12815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53741 ÷ 217
    53741 ÷ 131072     		x = 0.410011291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12815 ÷ 217
    12815 ÷ 131072     		y = 0.0977706909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410011291503906 × 2 - 1) × π
    -0.179977416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.56541573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0977706909179688 × 2 - 1) × π
    0.804458618164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52728128486898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56541573} λ = -0.56541573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52728128486898))-π/2
    2×atan(12.5194230816393)-π/2
    2×1.49108966788208-π/2
    2.98217933576417-1.57079632675     		φ = 1.41138301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56541573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.395935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41138301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.866290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53741 KachelY 12815 -0.56541573 1.41138301 -32.395935 80.866290
    Oben rechts KachelX + 1 53742 KachelY 12815 -0.56536779 1.41138301 -32.393188 80.866290
    Unten links KachelX 53741 KachelY + 1 12816 -0.56541573 1.41137540 -32.395935 80.865854
    Unten rechts KachelX + 1 53742 KachelY + 1 12816 -0.56536779 1.41137540 -32.393188 80.865854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41138301-1.41137540) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41138301-1.41137540) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56541573--0.56536779) × cos(1.41138301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158738989562257 × 6371000     		do = 48.4829733538729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56541573--0.56536779) × cos(1.41137540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158746503067296 × 6371000     		du = 48.4852681717093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41138301)-sin(1.41137540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158738989562257-0.158746503067296)×R²
    abs(-0.56536779--0.56541573)×7.51350503841453e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51350503841453e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51350503841453e-06×40589641000000     		ar = 2350.67065715849m²