Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53739 / 21114
↖ ↑ ↗
← N 53.768196°
E115.197143°		 ← 361.05 m → N 53.768196°
E115.202637°		 →
↑
361.04 m
↓
↑
361.04 m
↓
N 53.764949°
E115.197143°		 ← 361.07 m →
130 359 m²		 N 53.764949°
E115.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819999694824219 y=0.322181701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819999694824219 × 216)
    floor (0.819999694824219 × 65536)
    floor (53739.5)     		tx = 53739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322181701660156 × 216)
    floor (0.322181701660156 × 65536)
    floor (21114.5)     		ty = 21114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53739 / 21114 ti = "16/53739/21114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53739/21114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53739 ÷ 216
    53739 ÷ 65536     		x = 0.819992065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21114 ÷ 216
    21114 ÷ 65536     		y = 0.322174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819992065429688 × 2 - 1) × π
    0.639984130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01056944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322174072265625 × 2 - 1) × π
    0.35565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11731325634427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01056944} λ = 2.01056944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11731325634427))-π/2
    2×atan(3.05663077777153)-π/2
    2×1.2546141885223-π/2
    2.50922837704459-1.57079632675     		φ = 0.93843205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01056944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.197143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93843205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.768196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53739 KachelY 21114 2.01056944 0.93843205 115.197143 53.768196
    Oben rechts KachelX + 1 53740 KachelY 21114 2.01066532 0.93843205 115.202637 53.768196
    Unten links KachelX 53739 KachelY + 1 21115 2.01056944 0.93837538 115.197143 53.764949
    Unten rechts KachelX + 1 53740 KachelY + 1 21115 2.01066532 0.93837538 115.202637 53.764949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93843205-0.93837538) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dl = 361.044569999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93843205-0.93837538) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dr = 361.044569999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01056944-2.01066532) × cos(0.93843205) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		do = 361.045911496047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01056944-2.01066532) × cos(0.93837538) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.591099221154864 × 6371000     		du = 361.073834070731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93843205)-sin(0.93837538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591053510248696-0.591099221154864)×R²
    abs(2.01066532-2.01056944)×4.5710906167562e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.5710906167562e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.5710906167562e-05×40589641000000     		ar = 130358.706548115m²