Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53737 / 21270
↖ ↑ ↗
← N 53.258642°
E115.186157°		 ← 365.38 m → N 53.258642°
E115.191650°		 →
↑
365.44 m
↓
↑
365.44 m
↓
N 53.255355°
E115.186157°		 ← 365.40 m →
133 528 m²		 N 53.255355°
E115.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819969177246094 y=0.324562072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819969177246094 × 216)
    floor (0.819969177246094 × 65536)
    floor (53737.5)     		tx = 53737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324562072753906 × 216)
    floor (0.324562072753906 × 65536)
    floor (21270.5)     		ty = 21270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53737 / 21270 ti = "16/53737/21270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53737/21270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53737 ÷ 216
    53737 ÷ 65536     		x = 0.819961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21270 ÷ 216
    21270 ÷ 65536     		y = 0.324554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819961547851562 × 2 - 1) × π
    0.639923095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01037770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324554443359375 × 2 - 1) × π
    0.35089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10235694366281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01037770} λ = 2.01037770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10235694366281))-π/2
    2×atan(3.01125502492485)-π/2
    2×1.25016748694115-π/2
    2.50033497388229-1.57079632675     		φ = 0.92953865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01037770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.186157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92953865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.258642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53737 KachelY 21270 2.01037770 0.92953865 115.186157 53.258642
    Oben rechts KachelX + 1 53738 KachelY 21270 2.01047357 0.92953865 115.191650 53.258642
    Unten links KachelX 53737 KachelY + 1 21271 2.01037770 0.92948129 115.186157 53.255355
    Unten rechts KachelX + 1 53738 KachelY + 1 21271 2.01047357 0.92948129 115.191650 53.255355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92953865-0.92948129) × R
    5.73600000000063e-05 × 6371000     		dl = 365.44056000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92953865-0.92948129) × R
    5.73600000000063e-05 × 6371000     		dr = 365.44056000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01037770-2.01047357) × cos(0.92953865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598203746011272 × 6371000     		do = 365.375532031863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01037770-2.01047357) × cos(0.92948129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598249710121565 × 6371000     		du = 365.403606348289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92953865)-sin(0.92948129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598203746011272-0.598249710121565)×R²
    abs(2.01047357-2.01037770)×4.59641102930064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59641102930064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59641102930064e-05×40589641000000     		ar = 133528.168819765m²