Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53737 / 21218
↖ ↑ ↗
← N 53.429174°
E115.186157°		 ← 363.92 m → N 53.429174°
E115.191650°		 →
↑
363.91 m
↓
↑
363.91 m
↓
N 53.425901°
E115.186157°		 ← 363.95 m →
132 439 m²		 N 53.425901°
E115.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819969177246094 y=0.323768615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819969177246094 × 216)
    floor (0.819969177246094 × 65536)
    floor (53737.5)     		tx = 53737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323768615722656 × 216)
    floor (0.323768615722656 × 65536)
    floor (21218.5)     		ty = 21218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53737 / 21218 ti = "16/53737/21218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53737/21218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53737 ÷ 216
    53737 ÷ 65536     		x = 0.819961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21218 ÷ 216
    21218 ÷ 65536     		y = 0.323760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819961547851562 × 2 - 1) × π
    0.639923095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01037770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323760986328125 × 2 - 1) × π
    0.35247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1073423812233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01037770} λ = 2.01037770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1073423812233))-π/2
    2×atan(3.02630493284684)-π/2
    2×1.25165566380491-π/2
    2.50331132760983-1.57079632675     		φ = 0.93251500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01037770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.186157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93251500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.429174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53737 KachelY 21218 2.01037770 0.93251500 115.186157 53.429174
    Oben rechts KachelX + 1 53738 KachelY 21218 2.01047357 0.93251500 115.191650 53.429174
    Unten links KachelX 53737 KachelY + 1 21219 2.01037770 0.93245788 115.186157 53.425901
    Unten rechts KachelX + 1 53738 KachelY + 1 21219 2.01047357 0.93245788 115.191650 53.425901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93251500-0.93245788) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dl = 363.911520000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93251500-0.93245788) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dr = 363.911520000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01037770-2.01047357) × cos(0.93251500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5958160195451 × 6371000     		do = 363.91713790822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01037770-2.01047357) × cos(0.93245788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595861892842131 × 6371000     		du = 363.945156757016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93251500)-sin(0.93245788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5958160195451-0.595861892842131)×R²
    abs(2.01047357-2.01037770)×4.58732970305409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58732970305409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58732970305409e-05×40589641000000     		ar = 132438.7370374m²