Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53736 / 13896
↖ ↑ ↗
← N 80.382725°
W 32.409668°		 ← 51.03 m → N 80.382725°
W 32.406921°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.382267°
W 32.409668°		 ← 51.03 m →
2 601 m²		 N 80.382267°
W 32.406921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409976959228516 y=0.106021881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409976959228516 × 217)
    floor (0.409976959228516 × 131072)
    floor (53736.5)     		tx = 53736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106021881103516 × 217)
    floor (0.106021881103516 × 131072)
    floor (13896.5)     		ty = 13896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53736 / 13896 ti = "17/53736/13896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53736/13896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53736 ÷ 217
    53736 ÷ 131072     		x = 0.40997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13896 ÷ 217
    13896 ÷ 131072     		y = 0.10601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.1800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56565542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10601806640625 × 2 - 1) × π
    0.7879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4754614963797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56565542} λ = -0.56565542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4754614963797))-π/2
    2×atan(11.8871917433879)-π/2
    2×1.48686977546072-π/2
    2.97373955092143-1.57079632675     		φ = 1.40294322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56565542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.409668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40294322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.382725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53736 KachelY 13896 -0.56565542 1.40294322 -32.409668 80.382725
    Oben rechts KachelX + 1 53737 KachelY 13896 -0.56560748 1.40294322 -32.406921 80.382725
    Unten links KachelX 53736 KachelY + 1 13897 -0.56565542 1.40293522 -32.409668 80.382267
    Unten rechts KachelX + 1 53737 KachelY + 1 13897 -0.56560748 1.40293522 -32.406921 80.382267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40294322-1.40293522) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40294322-1.40293522) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56565542--0.56560748) × cos(1.40294322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167066015560017 × 6371000     		do = 51.0262614312361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56565542--0.56560748) × cos(1.40293522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167073903120364 × 6371000     		du = 51.0286704951921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40294322)-sin(1.40293522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167066015560017-0.167073903120364)×R²
    abs(-0.56560748--0.56565542)×7.88756034753035e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88756034753035e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88756034753035e-06×40589641000000     		ar = 2600.76788519828m²