Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53735 / 50287
↖ ↑ ↗
← S 68.877378°
E115.175171°		 ← 220.11 m → S 68.877378°
E115.180664°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 68.879358°
E115.175171°		 ← 220.09 m →
48 447 m²		 S 68.879358°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819938659667969 y=0.767326354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819938659667969 × 216)
    floor (0.819938659667969 × 65536)
    floor (53735.5)     		tx = 53735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767326354980469 × 216)
    floor (0.767326354980469 × 65536)
    floor (50287.5)     		ty = 50287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53735 / 50287 ti = "16/53735/50287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53735/50287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53735 ÷ 216
    53735 ÷ 65536     		x = 0.819931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50287 ÷ 216
    50287 ÷ 65536     		y = 0.767318725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819931030273438 × 2 - 1) × π
    0.639862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01018595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767318725585938 × 2 - 1) × π
    -0.534637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67961308888753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01018595} λ = 2.01018595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67961308888753))-π/2
    2×atan(0.186446100153726)-π/2
    2×0.184329648937645-π/2
    0.36865929787529-1.57079632675     		φ = -1.20213703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01018595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.175171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20213703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.877378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53735 KachelY 50287 2.01018595 -1.20213703 115.175171 -68.877378
    Oben rechts KachelX + 1 53736 KachelY 50287 2.01028182 -1.20213703 115.180664 -68.877378
    Unten links KachelX 53735 KachelY + 1 50288 2.01018595 -1.20217158 115.175171 -68.879358
    Unten rechts KachelX + 1 53736 KachelY + 1 50288 2.01028182 -1.20217158 115.180664 -68.879358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20213703--1.20217158) × R
    3.45499999998555e-05 × 6371000     		dl = 220.11804999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20213703--1.20217158) × R
    3.45499999998555e-05 × 6371000     		dr = 220.11804999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01018595-2.01028182) × cos(-1.20213703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360365133079847 × 6371000     		do = 220.106616019588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01018595-2.01028182) × cos(-1.20217158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360332904233438 × 6371000     		du = 220.08693103436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20213703)-sin(-1.20217158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360365133079847-0.360332904233438)×R²
    abs(2.01028182-2.01018595)×3.22288464086329e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22288464086329e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22288464086329e-05×40589641000000     		ar = 48447.2726045225m²