Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53735 / 21255
↖ ↑ ↗
← N 53.307903°
E115.175171°		 ← 364.95 m → N 53.307903°
E115.180664°		 →
↑
364.99 m
↓
↑
364.99 m
↓
N 53.304621°
E115.175171°		 ← 364.98 m →
133 212 m²		 N 53.304621°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819938659667969 y=0.324333190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819938659667969 × 216)
    floor (0.819938659667969 × 65536)
    floor (53735.5)     		tx = 53735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324333190917969 × 216)
    floor (0.324333190917969 × 65536)
    floor (21255.5)     		ty = 21255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53735 / 21255 ti = "16/53735/21255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53735/21255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53735 ÷ 216
    53735 ÷ 65536     		x = 0.819931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21255 ÷ 216
    21255 ÷ 65536     		y = 0.324325561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819931030273438 × 2 - 1) × π
    0.639862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01018595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324325561523438 × 2 - 1) × π
    0.351348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10379505065141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01018595} λ = 2.01018595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10379505065141))-π/2
    2×atan(3.01558864718)-π/2
    2×1.25059737962797-π/2
    2.50119475925595-1.57079632675     		φ = 0.93039843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01018595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.175171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93039843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.307903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53735 KachelY 21255 2.01018595 0.93039843 115.175171 53.307903
    Oben rechts KachelX + 1 53736 KachelY 21255 2.01028182 0.93039843 115.180664 53.307903
    Unten links KachelX 53735 KachelY + 1 21256 2.01018595 0.93034114 115.175171 53.304621
    Unten rechts KachelX + 1 53736 KachelY + 1 21256 2.01028182 0.93034114 115.180664 53.304621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93039843-0.93034114) × R
    5.72899999999876e-05 × 6371000     		dl = 364.994589999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93039843-0.93034114) × R
    5.72899999999876e-05 × 6371000     		dr = 364.994589999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01018595-2.01028182) × cos(0.93039843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597514545410687 × 6371000     		do = 364.954576733949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01018595-2.01028182) × cos(0.93034114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597560482879056 × 6371000     		du = 364.982634777814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93039843)-sin(0.93034114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597514545410687-0.597560482879056)×R²
    abs(2.01028182-2.01018595)×4.59374683692282e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59374683692282e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59374683692282e-05×40589641000000     		ar = 133211.56665704m²