Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53734 / 50262
↖ ↑ ↗
← S 68.827834°
E115.169677°		 ← 220.62 m → S 68.827834°
E115.175171°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
S 68.829818°
E115.169677°		 ← 220.60 m →
48 673 m²		 S 68.829818°
E115.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819923400878906 y=0.766944885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819923400878906 × 216)
    floor (0.819923400878906 × 65536)
    floor (53734.5)     		tx = 53734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766944885253906 × 216)
    floor (0.766944885253906 × 65536)
    floor (50262.5)     		ty = 50262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53734 / 50262 ti = "16/53734/50262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53734/50262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53734 ÷ 216
    53734 ÷ 65536     		x = 0.819915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50262 ÷ 216
    50262 ÷ 65536     		y = 0.766937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819915771484375 × 2 - 1) × π
    0.63983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01009007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.53387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67721624390652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01009007} λ = 2.01009007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67721624390652))-π/2
    2×atan(0.186893518535162)-π/2
    2×0.184762001713298-π/2
    0.369524003426597-1.57079632675     		φ = -1.20127232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01009007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.169677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20127232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.827834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53734 KachelY 50262 2.01009007 -1.20127232 115.169677 -68.827834
    Oben rechts KachelX + 1 53735 KachelY 50262 2.01018595 -1.20127232 115.175171 -68.827834
    Unten links KachelX 53734 KachelY + 1 50263 2.01009007 -1.20130695 115.169677 -68.829818
    Unten rechts KachelX + 1 53735 KachelY + 1 50263 2.01018595 -1.20130695 115.175171 -68.829818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20127232--1.20130695) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20127232--1.20130695) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01009007-2.01018595) × cos(-1.20127232) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361171609534761 × 6371000     		do = 220.622212218146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01009007-2.01018595) × cos(-1.20130695) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361139316865141 × 6371000     		du = 220.602486193116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20127232)-sin(-1.20130695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361171609534761-0.361139316865141)×R²
    abs(2.01018595-2.01009007)×3.22926696195713e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22926696195713e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22926696195713e-05×40589641000000     		ar = 48673.2018202671m²