Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53734 / 20956
↖ ↑ ↗
← N 54.278055°
E115.169677°		 ← 356.65 m → N 54.278055°
E115.175171°		 →
↑
356.65 m
↓
↑
356.65 m
↓
N 54.274848°
E115.169677°		 ← 356.67 m →
127 203 m²		 N 54.274848°
E115.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819923400878906 y=0.319770812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819923400878906 × 216)
    floor (0.819923400878906 × 65536)
    floor (53734.5)     		tx = 53734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319770812988281 × 216)
    floor (0.319770812988281 × 65536)
    floor (20956.5)     		ty = 20956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53734 / 20956 ti = "16/53734/20956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53734/20956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53734 ÷ 216
    53734 ÷ 65536     		x = 0.819915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20956 ÷ 216
    20956 ÷ 65536     		y = 0.31976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819915771484375 × 2 - 1) × π
    0.63983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01009007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31976318359375 × 2 - 1) × π
    0.3604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13246131662421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01009007} λ = 2.01009007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13246131662421))-π/2
    2×atan(3.10328527549581)-π/2
    2×1.2590635478277-π/2
    2.5181270956554-1.57079632675     		φ = 0.94733077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01009007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.169677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94733077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.278055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53734 KachelY 20956 2.01009007 0.94733077 115.169677 54.278055
    Oben rechts KachelX + 1 53735 KachelY 20956 2.01018595 0.94733077 115.175171 54.278055
    Unten links KachelX 53734 KachelY + 1 20957 2.01009007 0.94727479 115.169677 54.274848
    Unten rechts KachelX + 1 53735 KachelY + 1 20957 2.01018595 0.94727479 115.175171 54.274848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94733077-0.94727479) × R
    5.59799999999555e-05 × 6371000     		dl = 356.648579999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94733077-0.94727479) × R
    5.59799999999555e-05 × 6371000     		dr = 356.648579999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01009007-2.01018595) × cos(0.94733077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58385220777017 × 6371000     		do = 356.646985217442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01009007-2.01018595) × cos(0.94727479) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.583897654776047 × 6371000     		du = 356.674746588244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94733077)-sin(0.94727479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58385220777017-0.583897654776047)×R²
    abs(2.01018595-2.01009007)×4.54470058771639e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54470058771639e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54470058771639e-05×40589641000000     		ar = 127202.591398964m²