Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53733 / 50279
↖ ↑ ↗
← S 68.861536°
E115.164185°		 ← 220.26 m → S 68.861536°
E115.169677°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 68.863517°
E115.164185°		 ← 220.24 m →
48 524 m²		 S 68.863517°
E115.169677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819908142089844 y=0.767204284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819908142089844 × 216)
    floor (0.819908142089844 × 65536)
    floor (53733.5)     		tx = 53733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767204284667969 × 216)
    floor (0.767204284667969 × 65536)
    floor (50279.5)     		ty = 50279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53733 / 50279 ti = "16/53733/50279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53733/50279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53733 ÷ 216
    53733 ÷ 65536     		x = 0.819900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50279 ÷ 216
    50279 ÷ 65536     		y = 0.767196655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819900512695312 × 2 - 1) × π
    0.639801025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00999420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767196655273438 × 2 - 1) × π
    -0.534393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67884609849361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00999420} λ = 2.00999420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67884609849361))-π/2
    2×atan(0.186589157376273)-π/2
    2×0.184467896683243-π/2
    0.368935793366486-1.57079632675     		φ = -1.20186053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00999420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.164185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20186053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.861536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53733 KachelY 50279 2.00999420 -1.20186053 115.164185 -68.861536
    Oben rechts KachelX + 1 53734 KachelY 50279 2.01009007 -1.20186053 115.169677 -68.861536
    Unten links KachelX 53733 KachelY + 1 50280 2.00999420 -1.20189511 115.164185 -68.863517
    Unten rechts KachelX + 1 53734 KachelY + 1 50280 2.01009007 -1.20189511 115.169677 -68.863517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20186053--1.20189511) × R
    3.45799999998953e-05 × 6371000     		dl = 220.309179999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20186053--1.20189511) × R
    3.45799999998953e-05 × 6371000     		dr = 220.309179999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00999420-2.01009007) × cos(-1.20186053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360623041632977 × 6371000     		do = 220.264143409618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00999420-2.01009007) × cos(-1.20189511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360590788248518 × 6371000     		du = 220.24444343685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20186053)-sin(-1.20189511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360623041632977-0.360590788248518)×R²
    abs(2.01009007-2.00999420)×3.22533844590023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22533844590023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22533844590023e-05×40589641000000     		ar = 48524.0427803508m²