Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53733 / 20947
↖ ↑ ↗
← N 54.306910°
E115.164185°		 ← 356.36 m → N 54.306910°
E115.169677°		 →
↑
356.39 m
↓
↑
356.39 m
↓
N 54.303705°
E115.164185°		 ← 356.39 m →
127 009 m²		 N 54.303705°
E115.169677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819908142089844 y=0.319633483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819908142089844 × 216)
    floor (0.819908142089844 × 65536)
    floor (53733.5)     		tx = 53733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319633483886719 × 216)
    floor (0.319633483886719 × 65536)
    floor (20947.5)     		ty = 20947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53733 / 20947 ti = "16/53733/20947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53733/20947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53733 ÷ 216
    53733 ÷ 65536     		x = 0.819900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20947 ÷ 216
    20947 ÷ 65536     		y = 0.319625854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819900512695312 × 2 - 1) × π
    0.639801025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00999420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319625854492188 × 2 - 1) × π
    0.360748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13332418081737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00999420} λ = 2.00999420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13332418081737))-π/2
    2×atan(3.1059641448252)-π/2
    2×1.25931535219163-π/2
    2.51863070438326-1.57079632675     		φ = 0.94783438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00999420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.164185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94783438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.306910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53733 KachelY 20947 2.00999420 0.94783438 115.164185 54.306910
    Oben rechts KachelX + 1 53734 KachelY 20947 2.01009007 0.94783438 115.169677 54.306910
    Unten links KachelX 53733 KachelY + 1 20948 2.00999420 0.94777844 115.164185 54.303705
    Unten rechts KachelX + 1 53734 KachelY + 1 20948 2.01009007 0.94777844 115.169677 54.303705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94783438-0.94777844) × R
    5.59399999999766e-05 × 6371000     		dl = 356.393739999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94783438-0.94777844) × R
    5.59399999999766e-05 × 6371000     		dr = 356.393739999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00999420-2.01009007) × cos(0.94783438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583443272952317 × 6371000     		do = 356.360015608039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00999420-2.01009007) × cos(0.94777844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583488703928234 × 6371000     		du = 356.387764292508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94783438)-sin(0.94777844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583443272952317-0.583488703928234)×R²
    abs(2.01009007-2.00999420)×4.54309759168048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54309759168048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54309759168048e-05×40589641000000     		ar = 127009.423510647m²