Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53732 / 21220
↖ ↑ ↗
← N 53.422628°
E115.158692°		 ← 363.97 m → N 53.422628°
E115.164185°		 →
↑
364.04 m
↓
↑
364.04 m
↓
N 53.419354°
E115.158692°		 ← 364 m →
132 506 m²		 N 53.419354°
E115.164185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819892883300781 y=0.323799133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819892883300781 × 216)
    floor (0.819892883300781 × 65536)
    floor (53732.5)     		tx = 53732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323799133300781 × 216)
    floor (0.323799133300781 × 65536)
    floor (21220.5)     		ty = 21220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53732 / 21220 ti = "16/53732/21220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53732/21220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53732 ÷ 216
    53732 ÷ 65536     		x = 0.81988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21220 ÷ 216
    21220 ÷ 65536     		y = 0.32379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81988525390625 × 2 - 1) × π
    0.6397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00989833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32379150390625 × 2 - 1) × π
    0.3524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10715063362482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00989833} λ = 2.00989833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10715063362482))-π/2
    2×atan(3.02572470177443)-π/2
    2×1.25159853626105-π/2
    2.5031970725221-1.57079632675     		φ = 0.93240075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00989833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.158692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93240075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.422628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53732 KachelY 21220 2.00989833 0.93240075 115.158692 53.422628
    Oben rechts KachelX + 1 53733 KachelY 21220 2.00999420 0.93240075 115.164185 53.422628
    Unten links KachelX 53732 KachelY + 1 21221 2.00989833 0.93234361 115.158692 53.419354
    Unten rechts KachelX + 1 53733 KachelY + 1 21221 2.00999420 0.93234361 115.164185 53.419354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93240075-0.93234361) × R
    5.71400000000111e-05 × 6371000     		dl = 364.038940000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93240075-0.93234361) × R
    5.71400000000111e-05 × 6371000     		dr = 364.038940000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00989833-2.00999420) × cos(0.93240075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595907772225575 × 6371000     		do = 363.973179323319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00989833-2.00999420) × cos(0.93234361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595953657694261 × 6371000     		du = 364.001205606413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93240075)-sin(0.93234361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595907772225575-0.595953657694261)×R²
    abs(2.00999420-2.00989833)×4.58854686865573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58854686865573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58854686865573e-05×40589641000000     		ar = 132505.511754476m²