Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53730 / 50268
↖ ↑ ↗
← S 68.839735°
E115.147705°		 ← 220.48 m → S 68.839735°
E115.153198°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 68.841718°
E115.147705°		 ← 220.46 m →
48 614 m²		 S 68.841718°
E115.153198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819862365722656 y=0.767036437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819862365722656 × 216)
    floor (0.819862365722656 × 65536)
    floor (53730.5)     		tx = 53730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767036437988281 × 216)
    floor (0.767036437988281 × 65536)
    floor (50268.5)     		ty = 50268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53730 / 50268 ti = "16/53730/50268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53730/50268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53730 ÷ 216
    53730 ÷ 65536     		x = 0.819854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50268 ÷ 216
    50268 ÷ 65536     		y = 0.76702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819854736328125 × 2 - 1) × π
    0.63970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00970658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67779148670197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00970658} λ = 2.00970658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67779148670197))-π/2
    2×atan(0.186786040301113)-π/2
    2×0.184658148888319-π/2
    0.369316297776637-1.57079632675     		φ = -1.20148003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00970658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20148003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.839735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53730 KachelY 50268 2.00970658 -1.20148003 115.147705 -68.839735
    Oben rechts KachelX + 1 53731 KachelY 50268 2.00980245 -1.20148003 115.153198 -68.839735
    Unten links KachelX 53730 KachelY + 1 50269 2.00970658 -1.20151464 115.147705 -68.841718
    Unten rechts KachelX + 1 53731 KachelY + 1 50269 2.00980245 -1.20151464 115.153198 -68.841718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20148003--1.20151464) × R
    3.4610000000157e-05 × 6371000     		dl = 220.500310001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20148003--1.20151464) × R
    3.4610000000157e-05 × 6371000     		dr = 220.500310001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00970658-2.00980245) × cos(-1.20148003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36097791230165 × 6371000     		do = 220.480894073976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00970658-2.00980245) × cos(-1.20151464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360945635686674 × 6371000     		du = 220.461179912291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20148003)-sin(-1.20151464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36097791230165-0.360945635686674)×R²
    abs(2.00980245-2.00970658)×3.22766149760678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22766149760678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22766149760678e-05×40589641000000     		ar = 48613.9320080231m²