Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53730 / 50255
↖ ↑ ↗
← S 68.813942°
E115.147705°		 ← 220.74 m → S 68.813942°
E115.153198°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
S 68.815927°
E115.147705°		 ← 220.72 m →
48 727 m²		 S 68.815927°
E115.153198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819862365722656 y=0.766838073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819862365722656 × 216)
    floor (0.819862365722656 × 65536)
    floor (53730.5)     		tx = 53730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766838073730469 × 216)
    floor (0.766838073730469 × 65536)
    floor (50255.5)     		ty = 50255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53730 / 50255 ti = "16/53730/50255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53730/50255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53730 ÷ 216
    53730 ÷ 65536     		x = 0.819854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50255 ÷ 216
    50255 ÷ 65536     		y = 0.766830444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819854736328125 × 2 - 1) × π
    0.63970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00970658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766830444335938 × 2 - 1) × π
    -0.533660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67654512731184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00970658} λ = 2.00970658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67654512731184))-π/2
    2×atan(0.187018987974491)-π/2
    2×0.184883233771913-π/2
    0.369766467543825-1.57079632675     		φ = -1.20102986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00970658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20102986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.813942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53730 KachelY 50255 2.00970658 -1.20102986 115.147705 -68.813942
    Oben rechts KachelX + 1 53731 KachelY 50255 2.00980245 -1.20102986 115.153198 -68.813942
    Unten links KachelX 53730 KachelY + 1 50256 2.00970658 -1.20106451 115.147705 -68.815927
    Unten rechts KachelX + 1 53731 KachelY + 1 50256 2.00980245 -1.20106451 115.153198 -68.815927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20102986--1.20106451) × R
    3.46499999999139e-05 × 6371000     		dl = 220.755149999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20102986--1.20106451) × R
    3.46499999999139e-05 × 6371000     		dr = 220.755149999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00970658-2.00980245) × cos(-1.20102986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361397692712869 × 6371000     		do = 220.737290815234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00970658-2.00980245) × cos(-1.20106451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361365384428115 × 6371000     		du = 220.717557310036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20102986)-sin(-1.20106451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361397692712869-0.361365384428115)×R²
    abs(2.00980245-2.00970658)×3.23082847540346e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23082847540346e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23082847540346e-05×40589641000000     		ar = 48726.7156126341m²