Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53730 / 10848
↖ ↑ ↗
← N 81.685144°
W 32.426148°		 ← 44.17 m → N 81.685144°
W 32.423401°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.684747°
W 32.426148°		 ← 44.17 m →
1 950 m²		 N 81.684747°
W 32.423401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409931182861328 y=0.0827674865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409931182861328 × 217)
    floor (0.409931182861328 × 131072)
    floor (53730.5)     		tx = 53730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0827674865722656 × 217)
    floor (0.0827674865722656 × 131072)
    floor (10848.5)     		ty = 10848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53730 / 10848 ti = "17/53730/10848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53730/10848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53730 ÷ 217
    53730 ÷ 131072     		x = 0.409927368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10848 ÷ 217
    10848 ÷ 131072     		y = 0.082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409927368164062 × 2 - 1) × π
    -0.180145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56594304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082763671875 × 2 - 1) × π
    0.83447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62157316642163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56594304} λ = -0.56594304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62157316642163))-π/2
    2×atan(13.7573491700608)-π/2
    2×1.49823551964002-π/2
    2.99647103928004-1.57079632675     		φ = 1.42567471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56594304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.426148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42567471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.685144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53730 KachelY 10848 -0.56594304 1.42567471 -32.426148 81.685144
    Oben rechts KachelX + 1 53731 KachelY 10848 -0.56589510 1.42567471 -32.423401 81.685144
    Unten links KachelX 53730 KachelY + 1 10849 -0.56594304 1.42566778 -32.426148 81.684747
    Unten rechts KachelX + 1 53731 KachelY + 1 10849 -0.56589510 1.42566778 -32.423401 81.684747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42567471-1.42566778) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42567471-1.42566778) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56594304--0.56589510) × cos(1.42567471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144612769178465 × 6371000     		do = 44.1684620397529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56594304--0.56589510) × cos(1.42566778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144619626329091 × 6371000     		du = 44.1705563900571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42567471)-sin(1.42566778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144612769178465-0.144619626329091)×R²
    abs(-0.56589510--0.56594304)×6.85715062562209e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85715062562209e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85715062562209e-06×40589641000000     		ar = 1950.12932647253m²