Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53729 / 50291
↖ ↑ ↗
← S 68.885295°
E115.142212°		 ← 220.03 m → S 68.885295°
E115.147705°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 68.887274°
E115.142212°		 ← 220.01 m →
48 416 m²		 S 68.887274°
E115.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819847106933594 y=0.767387390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819847106933594 × 216)
    floor (0.819847106933594 × 65536)
    floor (53729.5)     		tx = 53729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767387390136719 × 216)
    floor (0.767387390136719 × 65536)
    floor (50291.5)     		ty = 50291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53729 / 50291 ti = "16/53729/50291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53729/50291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53729 ÷ 216
    53729 ÷ 65536     		x = 0.819839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50291 ÷ 216
    50291 ÷ 65536     		y = 0.767379760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819839477539062 × 2 - 1) × π
    0.639678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00961071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767379760742188 × 2 - 1) × π
    -0.534759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67999658408449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00961071} λ = 2.00961071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67999658408449))-π/2
    2×atan(0.186374612678253)-π/2
    2×0.184260562146727-π/2
    0.368521124293454-1.57079632675     		φ = -1.20227520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00961071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20227520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.885295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53729 KachelY 50291 2.00961071 -1.20227520 115.142212 -68.885295
    Oben rechts KachelX + 1 53730 KachelY 50291 2.00970658 -1.20227520 115.147705 -68.885295
    Unten links KachelX 53729 KachelY + 1 50292 2.00961071 -1.20230974 115.142212 -68.887274
    Unten rechts KachelX + 1 53730 KachelY + 1 50292 2.00970658 -1.20230974 115.147705 -68.887274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20227520--1.20230974) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dl = 220.054339999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20227520--1.20230974) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dr = 220.054339999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00961071-2.00970658) × cos(-1.20227520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360236243099417 × 6371000     		do = 220.027891595866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00961071-2.00970658) × cos(-1.20230974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		du = 220.008211258012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20227520)-sin(-1.20230974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360236243099417-0.360204021861827)×R²
    abs(2.00970658-2.00961071)×3.22212375901132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22212375901132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22212375901132e-05×40589641000000     		ar = 48415.9270997154m²