Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53728 / 10912
↖ ↑ ↗
← N 81.659685°
W 32.431641°		 ← 44.30 m → N 81.659685°
W 32.428894°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
N 81.659287°
W 32.431641°		 ← 44.30 m →
1 962 m²		 N 81.659287°
W 32.428894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409915924072266 y=0.0832557678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409915924072266 × 217)
    floor (0.409915924072266 × 131072)
    floor (53728.5)     		tx = 53728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832557678222656 × 217)
    floor (0.0832557678222656 × 131072)
    floor (10912.5)     		ty = 10912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53728 / 10912 ti = "17/53728/10912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53728/10912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53728 ÷ 217
    53728 ÷ 131072     		x = 0.409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10912 ÷ 217
    10912 ÷ 131072     		y = 0.083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083251953125 × 2 - 1) × π
    0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56603891} λ = -0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61850520484595))-π/2
    2×atan(13.7152068300188)-π/2
    2×1.49801334938964-π/2
    2.99602669877929-1.57079632675     		φ = 1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53728 KachelY 10912 -0.56603891 1.42523037 -32.431641 81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 53729 KachelY 10912 -0.56599097 1.42523037 -32.428894 81.659685
    Unten links KachelX 53728 KachelY + 1 10913 -0.56603891 1.42522342 -32.431641 81.659287
    Unten rechts KachelX + 1 53729 KachelY + 1 10913 -0.56599097 1.42522342 -32.428894 81.659287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42523037-1.42522342) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dl = 44.2784499996818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42523037-1.42522342) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dr = 44.2784499996818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56603891--0.56599097) × cos(1.42523037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 44.3027439788761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56603891--0.56599097) × cos(1.42522342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145059300623769 × 6371000     		du = 44.3048442368681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42523037)-sin(1.42522342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.145059300623769)×R²
    abs(-0.56599097--0.56603891)×6.8764930946652e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.8764930946652e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.8764930946652e-06×40589641000000     		ar = 1961.70333227523m²