Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53727 / 25123
↖ ↑ ↗
← N 38.672645°
E115.131226°		 ← 476.86 m → N 38.672645°
E115.136719°		 →
↑
476.87 m
↓
↑
476.87 m
↓
N 38.668356°
E115.131226°		 ← 476.89 m →
227 407 m²		 N 38.668356°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819816589355469 y=0.383354187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819816589355469 × 216)
    floor (0.819816589355469 × 65536)
    floor (53727.5)     		tx = 53727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383354187011719 × 216)
    floor (0.383354187011719 × 65536)
    floor (25123.5)     		ty = 25123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53727 / 25123 ti = "16/53727/25123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53727/25123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53727 ÷ 216
    53727 ÷ 65536     		x = 0.819808959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25123 ÷ 216
    25123 ÷ 65536     		y = 0.383346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819808959960938 × 2 - 1) × π
    0.639617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00941896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383346557617188 × 2 - 1) × π
    0.233306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.732955195190659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00941896} λ = 2.00941896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.732955195190659))-π/2
    2×atan(2.08122194586324)-π/2
    2×1.12288065538251-π/2
    2.24576131076503-1.57079632675     		φ = 0.67496498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00941896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.131226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67496498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.672645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53727 KachelY 25123 2.00941896 0.67496498 115.131226 38.672645
    Oben rechts KachelX + 1 53728 KachelY 25123 2.00951483 0.67496498 115.136719 38.672645
    Unten links KachelX 53727 KachelY + 1 25124 2.00941896 0.67489013 115.131226 38.668356
    Unten rechts KachelX + 1 53728 KachelY + 1 25124 2.00951483 0.67489013 115.136719 38.668356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67496498-0.67489013) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dl = 476.86935000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67496498-0.67489013) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dr = 476.86935000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00941896-2.00951483) × cos(0.67496498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780728834557745 × 6371000     		do = 476.859623834213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00941896-2.00951483) × cos(0.67489013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780775603888378 × 6371000     		du = 476.888189969375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67496498)-sin(0.67489013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780728834557745-0.780775603888378)×R²
    abs(2.00951483-2.00941896)×4.67693306335226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67693306335226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67693306335226e-05×40589641000000     		ar = 227406.550122419m²