Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53726 / 21273
↖ ↑ ↗
← N 53.248782°
E115.125732°		 ← 365.50 m → N 53.248782°
E115.131226°		 →
↑
365.50 m
↓
↑
365.50 m
↓
N 53.245495°
E115.125732°		 ← 365.53 m →
133 596 m²		 N 53.245495°
E115.131226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819801330566406 y=0.324607849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819801330566406 × 216)
    floor (0.819801330566406 × 65536)
    floor (53726.5)     		tx = 53726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324607849121094 × 216)
    floor (0.324607849121094 × 65536)
    floor (21273.5)     		ty = 21273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53726 / 21273 ti = "16/53726/21273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53726/21273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53726 ÷ 216
    53726 ÷ 65536     		x = 0.819793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21273 ÷ 216
    21273 ÷ 65536     		y = 0.324600219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819793701171875 × 2 - 1) × π
    0.63958740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00932308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324600219726562 × 2 - 1) × π
    0.350799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10206932226509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00932308} λ = 2.00932308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10206932226509))-π/2
    2×atan(3.01038904808839)-π/2
    2×1.25008144892766-π/2
    2.50016289785532-1.57079632675     		φ = 0.92936657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00932308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.125732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92936657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.248782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53726 KachelY 21273 2.00932308 0.92936657 115.125732 53.248782
    Oben rechts KachelX + 1 53727 KachelY 21273 2.00941896 0.92936657 115.131226 53.248782
    Unten links KachelX 53726 KachelY + 1 21274 2.00932308 0.92930920 115.125732 53.245495
    Unten rechts KachelX + 1 53727 KachelY + 1 21274 2.00941896 0.92930920 115.131226 53.245495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92936657-0.92930920) × R
    5.73700000000565e-05 × 6371000     		dl = 365.50427000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92936657-0.92930920) × R
    5.73700000000565e-05 × 6371000     		dr = 365.50427000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00932308-2.00941896) × cos(0.92936657) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598341632436971 × 6371000     		do = 365.4978717195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00932308-2.00941896) × cos(0.92930920) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598387598653849 × 6371000     		du = 365.52595025111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92936657)-sin(0.92930920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598341632436971-0.598387598653849)×R²
    abs(2.00941896-2.00932308)×4.59662168780239e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59662168780239e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59662168780239e-05×40589641000000     		ar = 133596.16423783m²