Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53725 / 21890
↖ ↑ ↗
← N 51.172455°
E115.120239°		 ← 382.95 m → N 51.172455°
E115.125732°		 →
↑
382.96 m
↓
↑
382.96 m
↓
N 51.169011°
E115.120239°		 ← 382.98 m →
146 661 m²		 N 51.169011°
E115.125732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819786071777344 y=0.334022521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819786071777344 × 216)
    floor (0.819786071777344 × 65536)
    floor (53725.5)     		tx = 53725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334022521972656 × 216)
    floor (0.334022521972656 × 65536)
    floor (21890.5)     		ty = 21890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53725 / 21890 ti = "16/53725/21890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53725/21890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53725 ÷ 216
    53725 ÷ 65536     		x = 0.819778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21890 ÷ 216
    21890 ÷ 65536     		y = 0.334014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819778442382812 × 2 - 1) × π
    0.639556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00922721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334014892578125 × 2 - 1) × π
    0.33197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04291518813394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00922721} λ = 2.00922721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04291518813394))-π/2
    2×atan(2.83747674770899)-π/2
    2×1.2319620790742-π/2
    2.46392415814841-1.57079632675     		φ = 0.89312783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00922721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.120239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89312783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.172455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53725 KachelY 21890 2.00922721 0.89312783 115.120239 51.172455
    Oben rechts KachelX + 1 53726 KachelY 21890 2.00932308 0.89312783 115.125732 51.172455
    Unten links KachelX 53725 KachelY + 1 21891 2.00922721 0.89306772 115.120239 51.169011
    Unten rechts KachelX + 1 53726 KachelY + 1 21891 2.00932308 0.89306772 115.125732 51.169011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89312783-0.89306772) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dl = 382.96080999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89312783-0.89306772) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dr = 382.96080999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00922721-2.00932308) × cos(0.89312783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626978403345483 × 6371000     		do = 382.95074081754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00922721-2.00932308) × cos(0.89306772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627025230105 × 6371000     		du = 382.979342029561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89312783)-sin(0.89306772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626978403345483-0.627025230105)×R²
    abs(2.00932308-2.00922721)×4.68267595169491e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68267595169491e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68267595169491e-05×40589641000000     		ar = 146660.602509172m²