Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53725 / 21132
↖ ↑ ↗
← N 53.709713°
E115.120239°		 ← 361.51 m → N 53.709713°
E115.125732°		 →
↑
361.55 m
↓
↑
361.55 m
↓
N 53.706462°
E115.120239°		 ← 361.54 m →
130 711 m²		 N 53.706462°
E115.125732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819786071777344 y=0.322456359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819786071777344 × 216)
    floor (0.819786071777344 × 65536)
    floor (53725.5)     		tx = 53725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322456359863281 × 216)
    floor (0.322456359863281 × 65536)
    floor (21132.5)     		ty = 21132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53725 / 21132 ti = "16/53725/21132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53725/21132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53725 ÷ 216
    53725 ÷ 65536     		x = 0.819778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21132 ÷ 216
    21132 ÷ 65536     		y = 0.32244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819778442382812 × 2 - 1) × π
    0.639556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00922721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32244873046875 × 2 - 1) × π
    0.3551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11558752795795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00922721} λ = 2.00922721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11558752795795))-π/2
    2×atan(3.05136041218956)-π/2
    2×1.25410383456959-π/2
    2.50820766913918-1.57079632675     		φ = 0.93741134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00922721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.120239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93741134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.709713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53725 KachelY 21132 2.00922721 0.93741134 115.120239 53.709713
    Oben rechts KachelX + 1 53726 KachelY 21132 2.00932308 0.93741134 115.125732 53.709713
    Unten links KachelX 53725 KachelY + 1 21133 2.00922721 0.93735459 115.120239 53.706462
    Unten rechts KachelX + 1 53726 KachelY + 1 21133 2.00932308 0.93735459 115.125732 53.706462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93741134-0.93735459) × R
    5.67500000000498e-05 × 6371000     		dl = 361.554250000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93741134-0.93735459) × R
    5.67500000000498e-05 × 6371000     		dr = 361.554250000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00922721-2.00932308) × cos(0.93741134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591876539917472 × 6371000     		do = 361.510951931501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00922721-2.00932308) × cos(0.93735459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591922281089433 × 6371000     		du = 361.53889007992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93741134)-sin(0.93735459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591876539917472-0.591922281089433)×R²
    abs(2.00932308-2.00922721)×4.57411719612111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57411719612111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57411719612111e-05×40589641000000     		ar = 130710.871705392m²