Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53725 / 20960
↖ ↑ ↗
← N 54.265224°
E115.120239°		 ← 356.72 m → N 54.265224°
E115.125732°		 →
↑
356.78 m
↓
↑
356.78 m
↓
N 54.262016°
E115.120239°		 ← 356.75 m →
127 274 m²		 N 54.262016°
E115.125732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819786071777344 y=0.319831848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819786071777344 × 216)
    floor (0.819786071777344 × 65536)
    floor (53725.5)     		tx = 53725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319831848144531 × 216)
    floor (0.319831848144531 × 65536)
    floor (20960.5)     		ty = 20960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53725 / 20960 ti = "16/53725/20960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53725/20960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53725 ÷ 216
    53725 ÷ 65536     		x = 0.819778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20960 ÷ 216
    20960 ÷ 65536     		y = 0.31982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819778442382812 × 2 - 1) × π
    0.639556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00922721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31982421875 × 2 - 1) × π
    0.3603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13207782142725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00922721} λ = 2.00922721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13207782142725))-π/2
    2×atan(3.10209540866655)-π/2
    2×1.25895157814009-π/2
    2.51790315628017-1.57079632675     		φ = 0.94710683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00922721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.120239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94710683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.265224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53725 KachelY 20960 2.00922721 0.94710683 115.120239 54.265224
    Oben rechts KachelX + 1 53726 KachelY 20960 2.00932308 0.94710683 115.125732 54.265224
    Unten links KachelX 53725 KachelY + 1 20961 2.00922721 0.94705083 115.120239 54.262016
    Unten rechts KachelX + 1 53726 KachelY + 1 20961 2.00932308 0.94705083 115.125732 54.262016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94710683-0.94705083) × R
    5.5999999999945e-05 × 6371000     		dl = 356.775999999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94710683-0.94705083) × R
    5.5999999999945e-05 × 6371000     		dr = 356.775999999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00922721-2.00932308) × cos(0.94710683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584034001048921 × 6371000     		do = 356.72082510484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00922721-2.00932308) × cos(0.94705083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584079456968038 × 6371000     		du = 356.748589024311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94710683)-sin(0.94705083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584034001048921-0.584079456968038)×R²
    abs(2.00932308-2.00922721)×4.54559191171988e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54559191171988e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54559191171988e-05×40589641000000     		ar = 127274.381880897m²