Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53724 / 50244
↖ ↑ ↗
← S 68.792094°
E115.114746°		 ← 220.95 m → S 68.792094°
E115.120239°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
S 68.794081°
E115.114746°		 ← 220.93 m →
48 817 m²		 S 68.794081°
E115.120239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819770812988281 y=0.766670227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819770812988281 × 216)
    floor (0.819770812988281 × 65536)
    floor (53724.5)     		tx = 53724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766670227050781 × 216)
    floor (0.766670227050781 × 65536)
    floor (50244.5)     		ty = 50244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53724 / 50244 ti = "16/53724/50244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53724/50244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53724 ÷ 216
    53724 ÷ 65536     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50244 ÷ 216
    50244 ÷ 65536     		y = 0.76666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.5333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6754905155202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6754905155202))-π/2
    2×atan(0.187216324442863)-π/2
    2×0.185073894627907-π/2
    0.370147789255814-1.57079632675     		φ = -1.20064854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20064854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.792094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53724 KachelY 50244 2.00913134 -1.20064854 115.114746 -68.792094
    Oben rechts KachelX + 1 53725 KachelY 50244 2.00922721 -1.20064854 115.120239 -68.792094
    Unten links KachelX 53724 KachelY + 1 50245 2.00913134 -1.20068322 115.114746 -68.794081
    Unten rechts KachelX + 1 53725 KachelY + 1 50245 2.00922721 -1.20068322 115.120239 -68.794081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20064854--1.20068322) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dl = 220.946279999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20064854--1.20068322) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dr = 220.946279999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00922721) × cos(-1.20064854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361753213685652 × 6371000     		do = 220.954438677388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00922721) × cos(-1.20068322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361720882209493 × 6371000     		du = 220.934691007164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20064854)-sin(-1.20068322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361753213685652-0.361720882209493)×R²
    abs(2.00922721-2.00913134)×3.23314761587201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23314761587201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23314761587201e-05×40589641000000     		ar = 48816.8796932971m²