Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53724 / 24060
↖ ↑ ↗
← N 43.084938°
E115.114746°		 ← 446.08 m → N 43.084938°
E115.120239°		 →
↑
446.16 m
↓
↑
446.16 m
↓
N 43.080925°
E115.114746°		 ← 446.11 m →
199 032 m²		 N 43.080925°
E115.120239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819770812988281 y=0.367134094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819770812988281 × 216)
    floor (0.819770812988281 × 65536)
    floor (53724.5)     		tx = 53724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367134094238281 × 216)
    floor (0.367134094238281 × 65536)
    floor (24060.5)     		ty = 24060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53724 / 24060 ti = "16/53724/24060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53724/24060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53724 ÷ 216
    53724 ÷ 65536     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24060 ÷ 216
    24060 ÷ 65536     		y = 0.36712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.834869043782898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834869043782898))-π/2
    2×atan(2.3045122383205)-π/2
    2×1.16138517144784-π/2
    2.32277034289568-1.57079632675     		φ = 0.75197402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75197402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.084938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53724 KachelY 24060 2.00913134 0.75197402 115.114746 43.084938
    Oben rechts KachelX + 1 53725 KachelY 24060 2.00922721 0.75197402 115.120239 43.084938
    Unten links KachelX 53724 KachelY + 1 24061 2.00913134 0.75190399 115.114746 43.080925
    Unten rechts KachelX + 1 53725 KachelY + 1 24061 2.00922721 0.75190399 115.120239 43.080925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75197402-0.75190399) × R
    7.00300000000542e-05 × 6371000     		dl = 446.161130000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75197402-0.75190399) × R
    7.00300000000542e-05 × 6371000     		dr = 446.161130000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00922721) × cos(0.75197402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730341875597 × 6371000     		do = 446.083885533499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00922721) × cos(0.75190399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730389710024505 × 6371000     		du = 446.113102216804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75197402)-sin(0.75190399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730341875597-0.730389710024505)×R²
    abs(2.00922721-2.00913134)×4.78344275052223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78344275052223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78344275052223e-05×40589641000000     		ar = 199031.80820017m²